\documentclass[12pt,a4paper,leqno]{amsart}

\pagestyle{myheadings}

\textwidth=154mm

\hoffset=-14mm

\usepackage{latexsym,amsmath,amsfonts,amssymb,xypic}

\usepackage{czech}

\newtheorem*{thm}{V�ta}

\newtheorem{thmn}{V�ta}[section]

\newtheorem*{cor}{D�sledek}

\newtheorem*{lemma}{Lemma}

\newtheorem{lemman}[thmn]{Lemma}

\newtheorem*{prop}{Tvrzen�}

\newtheorem{propn}[thmn]{Tvrzen�}

\newtheorem*{ap*}{Appendix}

\theoremstyle{definition}

\newtheorem*{defin}{Definice}

\newtheorem*{remark}{Pozn�mka}

\newtheorem{remarkn}[thmn]{Pozn�mka}

\newtheorem*{example}{P��klad}

\newtheorem{examplen}{P��klad}

\newtheorem*{exerc}{Cvi�en�}
%%
%%
\newenvironment{mylist}{\begin{list}{(\/\alph{enumi}\/)}{\usecounter{enumi}
\setlength{\rightmargin}{0pt}
\setlength{\leftmargin}{5pt}
\setlength{\itemindent}{0pt}
\setlength{\itemsep}{.5\jot}
%\setlength{\topsep}{-12pt}
}}{\end{list}}

\def\id{\operatorname{id}}

\def\const{\operatorname{const}}

\def\im{\operatorname{Im}}

\def\re{\operatorname{Re}}

\def\tr{\operatorname{tr}}

\def\lin{\operatorname{Lin}}

\def\af{\operatorname{Af}}

\def\sign{\operatorname{sign}}

\newcommand{\card}{\operatorname{card}}

\def\hom #1 #2;{\operatorname{Hom}(#1,#2)}

\def\st{\operatorname{st}}

\def\mat{\operatorname{Mat}}

\def\diag{\operatorname{diag}}

\def\rr{\mathbb{R}}

\def\cc{\mathbb{C}}

\def\kk{\mathbb{K}}

\def\ee{\mathbb{E}}

\def\zz{\mathbb{Z}}

\def\qq{\mathbb{Q}}

\def\nn{\mathbb{N}}

\def\ss{\mathbb{S}}

\def\A{{\mathcal A}}

\def\B{{\mathcal B}}

\def\P{{\mathcal P}}

\def\E{{\mathcal E}}

\def\N{{\mathcal N}}

\def\jj{\mathbb{J}}

\def\s #1{{\mathcal S}_{#1}}

\newcommand{\dd}[2][]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}

\def\vek #1{\/{\mathbf#1}\/} %vektory psane tucne
%\def\vek #1{{\boldkey #1}} vyzkouset, jak tohle funguje
 
\def\sour #1{\/{\mathbf#1}\/} %souradnice vektoru v neuvedene bazi, 
%take tucne, casem bud bude vypadat jinak, nebo prejmenuj na \vek

\def\bod #1{[#1]}	%linearni obal aritmetickeho zastupce, bod v \P_n
%\def\bod #1{\langle #1\rangle} %a puvodni definice, ktera se libila mne

\def\vct #1{\overrightarrow{#1}} %-> oznacujici vektor z bodu do bodu

\def\vctc #1{\overrightarrow{#1}
{\lower-1.5ex\hbox{$\mathbb{\scriptstyle C}$}}}
	%->cc oznacujici vektor z bodu do bodu v komplexifikaci

\newcommand{\skal}{\cdot} %skalarni soucin -- mozna bude chtit tlustsi tecku

%\newcommand{\df}[1]{{\em #1}\index{#1}} %definovany pojem v definici
\newcommand{\df}[1]{{\em #1}} %definovany pojem v definici

%\makeindex

\newcommand{\trid}[1]{[#1]} % trida ekvivalence

\catcode`\"=13 \def"{\begingroup\clqq \def"{\crqq\endgroup}} %ceske uvozovky 

%\setlength{\parskip}{1ex}

%\setlength{\belowdisplayskip}{24pt plus 3pt minus 9pt}

%% konec definic a maker
%%
%%



\begin{document}
\begin{center}{\large\bf Letm� �vod k sou�in�m a sou�t�m
}
\end{center}

\bigskip

\noindent{\small\em 
C�lem tohoto textu je dopln�n� n�kolika podstatn�ch pojm� z teorie
kategori� v jednoduch�ch p��kladech z teorie mno�in a line�rn� algebry
---  sou�inu a sou�tu a tak� tenzorov�ho sou�inu, n�znak vysv�tlen�
adjungovan�ho p�ru funktor� Hom a $\otimes$,
v�e bez p�esn�ho zaveden� pojmu kategorie a funktoru.}

\section{Sou�iny a sou�ty mno�in} 

M�jme mno�iny $A=\{a,b\}$ a $X=\{x,y,z\}$.  Jejich sou�inem b�n�
rozum�me mno�inu uspo��dan�ch dvojic
$$A\times X=\{(a,x),(a,y),(a,z),(b,x),(b,y),(b,z)\}.$$
Obecn�ji mluv�me o sou�inu syst�mu mno�in $(A_i)_{i\in I}$, kter�
definujeme p�edpisem 
\begin{equation}\prod_{i\in I} A_i=\big\{f:I\to \bigcup\{A_i;i\in
I\}; f(i)\in A_i \text{ pro ka�d� }i\in I\big\}.\label{kartezsky
soucin}\end{equation}

Tuto definici sou�inu v dal��m textu m�rn� roz����me a zp�esn�me,
v�raz (\ref{kartezsky soucin}) budeme nad�le naz�vat \df{kart�zsk�
sou�in} syst�mu mno�in $(A_i)_{i\in I}$.

\begin{exerc}
Uv�domte si, �e pro $A_1=A$ a $A_2=X$ p�edchoz� obecn� definice
kart�zsk�ho sou�inu plat� pro $I=\{1,2\}$.
\end{exerc}

\begin{remark}  V r�mci standardn�ch axiomatick�ch teori� mno�in
vyvst�v� ur�it� probl�m s nekone�n�mi sou�iny.  Je
pot�eba p�idat dodate�n� axiom, tzv. \df{axiom v�b�ru}, aby kart�zsk�
sou�in (\ref{kartezsky soucin}) byl nepr�zdnou mno�inou.  
V tomto textu se t�mto
probl�mem nebudeme d�le zab�vat a odkazujeme na knihu
\cite{balcar}, kap. 7, p�i�em� v lemmatu 7.6. je dok�z�na ekvivalence 
axiomu v�b�ru s t�m, �e ka�d� sou�in syst�mu nepr�zdn�ch mno�in je nepr�zdn�
mno�ina.  Poznamenejme p�edem, �e v du�ln� situaci sou�tu mno�in
k ��dn�mu obdobn�mu probl�mu nedoch�z�.
\end{remark}

Uv�domme si nejd��ve, �e spolu s mno�inou $A\times X$ uva�ujeme t�
dv� zobrazen� $p_1:A\times X\to A$ a $p_2:A\times X\to X$ definovan�
p�edpisem $p_1(\alpha,\xi)=\alpha$, $p_2(\alpha,\xi)=\xi$.  T�mto
zobrazen�m ��k�me \df{projekce} na prvn� a druhou slo�ku sou�inu.
Podobn� v obecn�m p��pad� m�me projekce $p_i:\prod_{i\in I}A_i\to A_i$
spl�uj�c� $p_i(f)=f(i)$.

Nech� nyn� $K=\{ k,l,m,n\}$ je dal�� mno�ina a $\pi_1:K\to A$ a
$\pi_2:K\to X$ jsou zobrazen� definovan� p�edpisem
\begin{eqnarray*}
\pi_1(k)=\pi_1(l)=a\\
\pi_1(m)=\pi_1(n)=b\\
\pi_2(k)=\pi_2(m)=x\\
\pi_2(l)=\pi_2(n)=y
\end{eqnarray*}
Pak lze definovat zobrazen� $h_K:K\to A \times X$ takov�, �e plat�
$p_i\circ h_K=\pi_i$ pro $i\in \{ 1,2\}$.
\begin{exerc}
Ur�ete zobrazen� $h_K$.  Rozhodn�te, zda m��e existovat n�jak�
$\widetilde{h_K}:K\to A \times X$ s tou� vlastnost�, tedy 
$p_i\circ \widetilde{h_K}=\pi_i$ pro $i\in \{ 1,2\}$.
\end{exerc}

Ozna�me d�le symbolem $D$ (jako "dev�t") 
mno�inu $\{ 1,2,\dots, 9\}$ a definujme 
$\rho_1:D\to A$ a $\rho_2:D\to X$ p�edpisem 
\begin{eqnarray*}
\rho_1(i)&=&\begin{cases}
a\text{ pro }i=1,2,3\\
b\text{ jinak}
\end{cases}\\
\rho_2(i)&=&\begin{cases}
x\text{ pro }i=1,4,7\\
y\text{ pro }i=2,5,8\\
z\text{ pro }i=3,6,9\\
\end{cases}
\end{eqnarray*}

\begin{exerc}
Najd�te op�t $h_D:D\to A \times X$ s vlastnost� $p_i\circ h_D=\rho_i$ pro
$i\in \{ 1,2\}$.  Uv�domte si, �e na rozd�l od $h_K$ z minul�ho
p��kladu nen� $h_D$ injektivn�, zato je ale surjektivn�.
\end{exerc}

Ozna�me $R=\{ r,s,t,u,v,w\}$ dal�� mno�inu a definujme projekce
$\sigma_1:R\to A$ a $\sigma_2:R\to X$
p�edpisem
\begin{eqnarray*}
\sigma_1(\gamma)&=&\begin{cases}
a\text{ pro }\gamma=r,s,t\\
b\text{ jinak}
\end{cases}\\
\sigma_2(\gamma)&=&\begin{cases}
x\text{ pro }\gamma=r,u\\
y\text{ pro }\gamma=s,v\\
z\text{ pro }\gamma=t,w
\end{cases}
\end{eqnarray*}
Pak z�ejm� $h_R:R\to A\times X$ s vlastnost� $p_i\circ h_R=\sigma_i$
pro $i\in \{ 1,2\}$ je bijekce.  
To p�edev��m znamen�, �e $p_i=\sigma_i\circ
h_R^{-1}$ pro $i\in \{ 1,2\}$ a vid�me, �e prvky mno�in $R$ a
$A\times X$, kter� si vz�jemn� odpov�daj� prost�ednictv�m bijekce
$h_R$, se chovaj� shodn� vzhledem k projekc�m.  

\bigskip
�vahy, kter� jsme dosud provedli, vysv�tluj�, pro� m� smysl
n�sleduj�c�

\begin{defin} Nech� $I$ a $A_i$ pro $i\in I$ jsou mno�iny.
\df{Sou�inem} syst�mu mno�in $(A_i)_{i\in I}$ rozum�me dvojici
$(A,P)$, kde $A$ je mno�ina a $P=\{ p_i:A\to A_i;i\in I\}$ mno�ina
zobrazen�, s touto univerz�ln� vlastnost�:
pro ka�dou dvojici $(B,Q)$, kde $B$ je mno�ina a 
$Q=\{ q_i:B\to A_i;i\in I\}$ mno�ina zobrazen�, existuje jedin�
zobrazen� $h_B: B\to A$ spl�uj�c� $p_i\circ h_B=q_i$ pro ka�d� $i\in
I$

��k�me, �e projekce $q_i:B\to A_i$ se \df{faktorizuje}
p�es $A$ jako�to $p_i\circ h_B$.
\end{defin}

\begin{exerc}
Rozhodn�te a pat�i�n� zd�vodn�te, zda 
$(A\times X,\{ p_1,p_2\})$, $(K,\{\pi_1,\pi_2\})$,
$(D,\{ \rho_1,\rho_2\})$ nebo $(R,\{ \sigma_1,\sigma_2\})$ jsou
sou�iny $A$ a $X$ ve smyslu p�edchoz� definice.  Plat� obecn�, �e
kart�zsk� sou�in je sou�in?
\end{exerc}
\begin{exerc}
V p�edchoz�m cvi�en� jste si patrn� pov�imli, �e sou�in nen� ur�en jednozna�n�.
��k�me, �e je ur�en
\df{jednozna�n� a� na isomorfismus}, �i l�pe \df{jednozna�n� s
p�esnost� pouze a� na isomorfismus}.
Rozmyslete si, co p�esn� jednozna�nost� a� na
isomorfismus mysl�me.  Mno�iny $A
\times X$ a $R$ jsou isomorfn� (nap�. prost�ednictv�m bijekce $h_R$).
Definujme 
$\tau_1:R\to A$ a $\tau_2:R\to X$ p�edpisem 
$\tau_1(\gamma)=a$, $\tau_2(\gamma)=x$.
Doka�te, �e $(R,\{ \tau_1,\tau_2\})$ nen� sou�inem $A$ a $X$.
\end{exerc}

\begin{examplen}\label{pocet prvku soucinu}
Dok�eme n�sleduj�c� tvrzen�: Nech� $A_1$ m� $m$ prvk� a $A_2$ m� $n$d
prvk�, pak sou�in $A_1$ a $A_2$ m� $m\cdot n$ prvk�.  P�i d�kazu pou�ijeme pouze
definici sou�inu. 

Nech� tedy $A_1=\{a_1,\dots,a_m\}$ a $A_2=\{b_1,\dots,b_m\}$ a ozna�me jejich
sou�in $A$ s projekcemi $p_1:A\to A_1$, $p_2:A\to A_2$.  
Sta�� si uv�domit, �e jednoprvkovou mno�inu $\{x\}$ lze
zobrazit na $a_1$ a $b_1$, co� odpov�d� zobrazen�m $i_1:\{x\}\to A_1$, kde
$i_1(x)=a_1$, $i_2:\{x\}\to A_2$, kde $i_2(x)=b_1$.  Pak ale existuje
$h:\{x\}\to A$ tak, �e $p_1\circ h(x)=a_1$ a $p_2\circ h(x)=b_1$.  Tedy
dvojice $(a_1,b_1)$ m� vzor v $A$.  Mus� tedy b�t vzory pro v�echna $(a_j,b_k)$
a tud�� nejm�n� $m\cdot n$ prvk� v $A$.  Kdyby jich bylo v�ce, na n�kterou
dvojici $(a_j, b_k)$ by se zobrazovalo v�ce prvk� $A$.  Pak by ale p��slu�n�
faktorizace $h':\{x\}\to A$, $p_1\circ h'(x)=a_j$, $p_2\circ h'(x)=b_k$,
nebyla d�na jednozna�n�.  T�m je d�kaz ukon�en.
\end{examplen}

\begin{examplen} Uv�domte si podle p�ede�l�ch cvi�en�, �e definici
sou�inu $(A,\{p_1,p_2\})$ mno�in $A_1$ a $A_2$ lze zachytit diagramem
$$\xymatrix{&A\ar[ld]_-{p_1}\ar[rd]^-{p_2}\\A_1&&A_2\\
&B\ar[lu]^-{q_1}\ar[ru]_-{q_2}\ar@{.>}[uu]^-{h_B}
}$$\label{diagram soucinu}
\end{examplen}
\begin{exerc} Pov�imn�te si, �e projekce $p_1:A \times X\to A$ a $p_2:
A \times X\to X$ jsou surjektivn� a nav�c plat�, �e $p_1^{-1}(a)$ je 
v bijekci s $X$, podobn� vzor $b\in A$ je v bijekci s $X$ a vzor
ka�d�ho $\xi\in X$ v zobrazen� $p_2$ je v bijekci s $A$.
Doka�te, �e v�ak projekce obecn� nemus� b�t surjektivn�.  
Kdy je projekce tak� injektivn�?
\end{exerc}

\begin{remark} Obecn� plat� n�sleduj�c� tvrzen�: Pokud ve struktu�e
existuj� kart�zsk� sou�iny, je ka�d� sou�in isomorfn� kart�zsk�mu
sou�inu.  Toto tvrzen� je z�ejm�, p�esn�j�� rozbor n�kter�ch d�sledk�
lze nal�zt v \cite{adamek}, 2C7 a 3C2.
\end{remark}

\bigskip
Nyn� se budeme v�novat d�le�it�mu speci�ln�mu p��padu sou�inu syst�mu mno�in
$(A_i)_{i\in I}$.  Nech� mno�ina $I$ je pr�zdn�.  M� smysl mluvit o sou�inu
pr�zdn�ho syst�mu?  P�i rozboru definice sou�inu zji��ujeme, �e ze sou�inu
$A$ pr�zdn�ho syst�mu nevedou ��dn� projekce, proto�e nen� kam.  Zato ale
definice vy�aduje, aby pro ka�dou mno�inu $B$ existovalo pr�v� jedno
zobrazen� $h_B: B\to A$, bez dal��ch podm�nek.  Je mo�n� nal�zt mno�inu $A$ s
takov�mi vlastnostmi?

\begin{defin} O mno�in� $\{z\}$ �ekneme, �e je \df{termin�ln�} mno�inou.
\end{defin}

\begin{exerc}
Uv�domte si, �e termin�ln� mno�ina je sou�inem pr�zdn�ho syst�mu mno�in.
\end{exerc}
\bigskip\bigskip
Sou�et mno�in
je \df{du�ln�m pojmem} k sou�inu.  Touto \df{dualitou} rozum�me
to, �e v�echna zobrazen� sm��uj� opa�n�m sm�rem.  P�ekresleme diagram
uveden� v p��kladu \ref{diagram soucinu} s "obr�cen�mi" �ipkami:
$$\xymatrix{&A\ar@{.>}[dd]^-{h^B}\\A_1\ar[ru]^-{j_1}\ar[rd]_-{k_1}
&&A_2\ar[lu]_-{j_2}\ar[ld]^-{k_2}\\
&B
}$$

Sou�tem $A=\{a,b\}$ a $X=\{x,y,z\}$ je pak jejich sjednocen� $A\cup
X=\{a,b,x,y,z\}$ spolu se zobrazen�mi $j_1:A\to A\cup X$ a $j_2:X\to
A\cup X$, kter� p�edstavuj� vlo�en� podmno�in, tedy
$j_1(a)=a$, $j_1(b)=b$, $j_2(x)=x$, $j_2(y)=y$ a $j_2(z)=z$.  Uv�domte
si, �e pro ka�d� $B$ s dvojic� $k_1:A\to B$ a $k_2:X\to B$ existuje
$h^B:A \times X\to B$ tak, �e $h^B\circ j_i=k_i$ pro $i\in \{ 1,2\}$.

\begin{exerc}
P�esn� zformulujte definici sou�tu syst�mu mno�in dualizac� definice
sou�inu.  Takov�to du�ln� definici sou�tu ��k�me \df{definice pomoc� kouniverz�ln�
vlastnosti sou�tu}.  Kolik prvk� bude m�t podle t�to definice sou�et $A$ s $A$?
Doka�te, �e $A\cup X$ je skute�n� sou�tem $A$ a $X$.
Popi�te $h^B$.  Je to jedin� zobrazen� z $A \times X$ do $B$ s
uvedenou vlastnost�?
\end{exerc}


\begin{examplen}
Jedn�m z mnoha isomorfn�ch sou�t� syst�mu mno�in $\{A_i;i\in I\}$ je
jejich \df{disjunktn� sjednocen�}
$$\coprod_{i\in I}A_i=\bigcup \big\{A_i \times \{i\};i\in I\big\}$$
spolu se zobrazen�mi $j_i:A_i\to \coprod_{i\in I}A_i$ definovan�mi
p�edpisem $j_i(\alpha)=(\alpha,i)$ pro $\alpha\in A_i$ a $i\in I$.
Vra�te se k p�ede�l�mu cvi�en� a ujist�te se, zda jste postupovali
spr�vn�.
\end{examplen}

\begin{exerc}
Projd�te ��st t�kaj�c� se sou�in� a v�echna tvrzen� dualizujte i pro sou�ty.
P�edev��m si uv�domte, �e sou�tem pr�zdn�ho syst�mu mno�in (tzv.
\df{inici�ln�} mno�inou) je pr�zdn� mno�ina.
\end{exerc}


\section{Sou�iny a sou�ty struktur}
V dal��m textu roz����me definici sou�inu a sou�tu z mno�in na
\df{struktury}, ani� bychom tento pojem p�esn� definovali.  Strukturou
intuitivn� rozum�jme dodate�nou informaci o mno�in�.  P��kladem takov�
informace je nap��klad uspo��d�n� (�i jin� relace) 
nebo uzav�enost mno�iny na n�jak� operace.  Strukturou je tedy nap�.
relace uspo��dan� na mno�in�, grupa, vektorov� prostor.  D�le�it� je, �e na
rozd�l od mno�in uva�ujeme mezi strukturami pouze n�kter� zobrazen�:
isotonn� zobrazen� mezi uspo��dan�mi mno�inami, homomorfismy mezi
grupami, line�rn� zobrazen� mezi vektorov�mi prostory.
 
\begin{remark} K p�esn�mu porozum�n� pojmu struktury doporu�ujeme
prvn� kapitolu knihy \cite{adamek}  nebo 
jak�koli skripta z teorie kategori�, kter� by 
v budoucnu napsal prof. Rosick�.  �ten�� sezn�men� 
s teori� kategori� snadno vid�, �e pod
pojmem struktury rozum�me to, co b�v� ozna�ov�no t� jako konkr�tn�
kategorie, tedy kategorii, jej�� objekty maj� nosn� mno�iny.  
\end{remark}

\subsection{Struktura uspo��dan�ch mno�in}

Definujme na mno�in�ch $A$ a $X$ z p�edchoz�ch p��klad� uspo��d�n�
$\leq_A$ a $\leq_X$ jako $a\leq_A b$ a $x\leq_X y,z$.
Pokusme se nal�zt definice sou�tu a sou�inu uspo��dan�ch mno�in tak, 
aby v�sledkem byla op�t uspo��dan� mno�ina.  V�nujme se nap�ed
sou�inu.

Ze stejn�ch d�vod� jako v p��pad� mno�in je nutn�, 
aby sou�in uspo��dan�ch mno�in $A$ a $X$ byla uspo��dan� mno�ina
se �esti prvky, nebo� jednoprvkovou mno�inu lze v�dy ch�pat jako
uspo��danou mno�inu a projekce z jednoprvkov� uspo��dan� mno�iny 
do $A$ a $X$ se mus� faktorizovat p�es sou�in (viz p��klad \ref{pocet prvku
soucinu}).  Zat�mco
v�ak v�echny �estiprvkov� mno�iny jsou isomorfn�, �estiprvkov�
uspo��dan� mno�iny nemus� b�t isotonn� isomorfn�.  P�ipome�me, �e
zobrazen� $f: A\to B$ uspo��dan�ch mno�in $(A,\leq)$ a $(B,\preceq)$
je \df{isotonn�}, pokud pro ka�d� $a_1\leq a_2$ je $f(a_1)\preceq f(a_2)$,
a $f$ je \df{isotonn� isomorfismus} (nebo t� isomorfismus uspo��dan�ch
mno�in), pokud je $f$ bijekce a $f$ i $f^{-1}$ jsou isotonn�
zobrazen�.

Pokusme se tedy definovat na mno�in� $A\times X$ vhodn� uspo��d�n�.
U� v�me, �e $A\times X$ s projekcemi $p_1$ a $p_2$ popsan�mi v��e je
sou�inem mno�in $A$ a $X$.  V p��pad�, �e pracujeme s uspo��dan�mi
mno�inami, chceme pracovat nikoli s libovoln�mi zobrazen�mi,
ale se zobrazen�mi isotonn�mi.  Bylo by tedy ��douc�, aby uspo��d�n� na
$A\times X$ bylo definov�no tak, �e $p_1$ a $p_2$ budou isotonn�.

Nejjednodu���m mo�n�m uspo��d�n�m, kter� tuto podm�nku spl�uje, je
identick� uspo��d�n� $\Delta$ --- takto uspo��dan� mno�ina se
n�kdy naz�v� \df{proti�et�zec} a ka�d� zobrazen� z proti�et�zce do
libovoln� uspo��dan� mno�iny je isotonn�.  
Je tedy uspo��dan� mno�ina 
$(A\times X,\Delta,\{p_1,p_2\})$ rozumn�m kandid�tem na 
sou�in uspo��dan�ch mno�in $(A,\leq_A)$ a $(X,\leq_X)$?

Uva�me mno�inu $K$ definovanou v��e spolu s uspo��d�n�m
$\sqsubseteq$, $k\sqsubseteq l,m\sqsubseteq n$.  
Pov�imn�me si, �e projekce $\pi_1:K\to A$ a
$\pi_2:K\to X$ jsou isotonn�.  V�me, �e projekce $\pi_1$ a $\pi_2$ se
faktorizuj� p�es $A\times X$ jako $p_i\circ h_K$.  Zobrazen� $h_K:K\to
A\times X$ ale nen� isotonn�!

Je tedy vid�t, �e $\Delta$ nebylo pro sou�in vhodn� uspo��d�n�.
Vhodn�j�� je uspo��d�n� $\leq$ definovan�
$(\alpha_1,\xi_1)\leq(\alpha_2,\xi_2)$ pr�v� tehdy, kdy�
$\alpha_1\leq_A\alpha_2$ a z�rove� $\xi_1\leq_X\xi_2$.

\begin{exerc}
Ov��te, �e jde o uspo��d�n� $A\times X$ (tedy �e je reflexivn�,
antisymetrick� a tranzitivn�).  P�esv�d�te se, �e zobrazen�
$h_K$ do takto uspo��dan� mno�iny $A\times X$ je isotonn�.
Pov�imn�te si, �e uspo��d�n� $\leq$ je nejmen�� takov� uspo��d�n�
vzhledem k inkluzi.  Polo�me $(\alpha_1,\xi_1)\preceq(\alpha_2,\xi_2)$
pro $(\alpha_1,\xi_1)\leq(\alpha_2,\xi_2)$ a nav�c $(a,y)\preceq (b,z)$, pak 
tranzitivn� obal $\preceq$ je 
uspo��d�n� na $A \times X$ v�t�� ne� $\leq$ vzhledem k inkluzi.
Uva�te, pro� je $\leq$ vhodn�j�� uspo��d�n� pro sou�in $(A,\leq_A)$ a
$(X,\leq_X)$ ne� uspo��d�n� dan� tranzitivn�m obalem $\preceq$.
\end{exerc}

\begin{exerc}
Pokud jste dob�e pochopili p�edchoz� cvi�en�, m�lo by v�m b�t jasn�,
�e jako definici sou�inu uspo��dan�ch mno�in lze pou��t definici
sou�inu mno�in, v n�� ka�dou "mno�inu" nahrad�me "uspo��danou mno�inou" a 
ka�d� "zobrazen�" nahrad�me "isotonn�m
zobrazen�m".  P�esn� zformulujte tuto definici.  
Uv�domte si, �e sou�in je
ur�en jednozna�n� a� na isotonn� isomorfismus.  Doka�te, �e $A\times
X$ s uspo��d�n�m $\leq$ je sou�inem $(A,\leq_A)$ a $(X,\leq_X)$.
\end{exerc}

\begin{remark}  Pov�imn�te si, �e z definice sou�inu uspo��dan�ch
mno�in plyne, �e pokud "zapomeneme" na uspo��d�n�, jde o sou�in
p��slu�n�ch mno�in.  To neplat� obecn�, jak uvid�me pozd�ji.
\end{remark}

\begin{exerc}
Pokuste se dualizovat p�edchoz� �vahy a� po definici sou�tu
uspo��dan�ch mno�in.  Pov�imn�te si, �e uspo��d�n� sou�tu je 
daleko jednodu��� ne� u sou�inu, jde vlastn� jen o (disjunktn�) sjednocen�
relac� uspo��d�n� jednotliv�ch mno�in.
\end{exerc}

\bigskip
Jako dal�� cvi�en� se nab�z� zobecnit definici sou�inu a sou�tu pro
jakoukoli strukturu.  Dal�� text bychom t�m vlastn� nechali na
�ten��i.  
N� dosud jedin� p��klad struktur, struktura uspo��dan�ch mno�in, 
je v�ak natolik podobn� mno�in�m, �e si na
prvn� pohled nemus�me uv�domit n�kolik podstatn�ch fakt.  P�edev��m
v�bec nen� jasn�, zda v dan� struktu�e sou�iny a sou�ty v�bec
existuj�, d�le mohl �ten�� snadno podlehnout dojmu, �e sou�iny jsou
v�dy isomorfn� kart�zsk�mu sou�inu.  Nav�c by se mohlo zd�t, �e sou�et
je podstatn� jednodu��� ne� sou�in.
Na z�v�r t�to kapitoly proto uvedeme
n�sleduj�c� p��klady.

\subsection{Struktura kone�n�ch mno�in} 

P�ipome�me, �e mno�ina je
kone�n�, pokud nen� v bijekci s ��dnou svou vlastn� podmno�inou.  Mezi
kone�n�mi mno�inami uva�ujeme v�echna zobrazen�.  Ve struktu�e
kone�n�ch mno�in nejsou sou�iny ani sou�ty.  Skute�n�, nech� $I$ je
nekone�n� mno�ina a $\{A_i;i\in I\}$ libovoln� syst�m kone�n�ch
nepr�zdn�ch mno�in.  Pak sou�in i sou�et tohoto syst�mu jsou nekone�n�
mno�iny, tud�� nepat�� do struktury kone�n�ch mno�in.  Je z�ejm�, �e
kone�n� sou�iny a sou�ty tato struktura m�.

\subsection{Struktura line�rn� uspo��dan�ch mno�in}

P�ipome�me,
�e mno�ina $(A,\leq)$ je \df{line�rn� uspo��dan�} (t� \df{�et�zec}), 
pokud pro ka�d� $a,b\in A$ plat� bu� $a\leq b$ nebo $b\leq a$.
Mezi line�rn� uspo��dan�mi mno�inami uva�ujeme isotonn�
zobrazen�.  Tato struktura je na prvn� pohled pon�kud matouc�, proto�e
ka�d� line�rn� uspo��dan� mno�ina je p�edev��m uspo��dan� mno�ina.  V
t�to struktu�e neexistuj� sou�iny ani sou�ty.  Na d�kaz, �e neexistuj�
sou�ty, posta�� dv� jednoprvkov� mno�iny $\{a\}$ a $\{b\}$.  Jejich
sou�tem mus� b�t dvouprvkov� mno�ina, proto�e inkluze do $(\{a,b\},a\leq b)$ 
se mus� jednozna�n� faktorizovat.  Mno�iny $(\{a,b\},a\leq b)$ a
$(\{a,b\},b\leq a)$ v�ak nejsou isomorfn�, tedy sou�et neexistuje.
D�kladn� si tento n�znak d�kazu promyslete a pokuste se uk�zat, pro�
neexistuj� sou�iny (zde u� nevysta��te s jednoprvkov�mi mno�inami ---
sta�� k d�kazu dvouprvkov� mno�iny?).
Uv�domte si, �e jde o d�kaz jin�ho tvrzen�, ne� �e kart�zsk� sou�in
line�rn� uspo��dan�ch mno�in nen� line�rn� uspo��dan� mno�ina.

\subsection{Struktura pointovan�ch mno�in}

\df{Pointovanou
mno�inou} rozum�me dvojici $(A,a)$, kde $A$ je mno�ina a $a\in A$ jej�
prvek (naz�v�me jej \df{vyzna�en� prvek}).  Znamen� to p�edev��m, �e
pointovan� mno�iny jsou nepr�zdn�.  Zobrazen� mezi pointovan�mi
mno�inami jsou \df{zobrazen� zachov�vaj�c� vyzna�en� prvek}, tedy $f:(A,a)\to
(B,b)$ je zobrazen� $f:A\to B$ spl�uj�c� $f(a)=b$.  Poznamenejme, �e
na strukturu pointovan�ch mno�in lze pohl��et jako na algebry s jednou
nul�rn� operac�, zobrazen� zachov�vaj�c� vyzna�en� prvek jsou pak
jejich homomorfismy.  Daleko vhodn�j�� je ale pohled z jin� strany,
jako na stukturu abstraktn�ch prostor�, co� jsou mno�iny, u nich� je
dodate�n� informace d�na vybranou podmno�inou poten�n� mno�iny (hlub��
detaily o abstraktn�ch prostorech lze nal�zt v~\cite{akr}).

Ve struktu�e pointovan�ch mno�in
jsou (kart�zsk�) sou�iny, ale sou�ty nejsou isomorfn� disjunktn�mu
sjednocen�. 
Podrobn�ji,
uva�me pointovan� mno�iny $(A,a)$, kde $A=\{a,b\}$, a $(X,x)$, kde
$X=\{x,y,z\}$.  Kdyby (disjunktn�) sjednocen� bylo sou�tem, co by m�l
b�t jeho vyzna�en� prvek?  Pokud by j�m bylo $a$, pak by inkluze
$X\subseteq A\cup X$ nezachov�vala vyzna�en� prvek, podobn� pokud by
vyzna�en�m bodem byl prvek $x$, nezachov�vala by vyzna�en� prvek
inkluze $A\subseteq A\cup X$.  Ov��te, �e pointovan� mno�ina
$(A\vee X,\{a,x\})$, kde $A\vee X=\{b,y,z,\{a,x\}\}$, 
spolu se zobrazen�mi $j_1:A\to A\vee X$ definovan� p�edpisem
$$j_1(\alpha)=\begin{cases}\{a,x\}\text{ pro }\alpha=a\\
b\text{ pro }\alpha=b\end{cases}$$ a $j_2:X\to A\vee X$ definovan�
p�edpisem
$$j_2(\xi)=\begin{cases}\{a,x\}\text{ pro }\xi=x\\
y\text{ pro }\xi=y\\
z\text{ pro }\xi=z\end{cases}$$
je sou�tem $(A,a)$ a $(X,x)$.  

Uv�domte si, �e sou�et je zad�n komutativn�m diagramem 
$$\xymatrix{\{*\}\ar[r]\ar[d]&A\ar[d]\\X\ar[r]&A\coprod X
}.$$
�ten�� sezn�men� s teori� kategori� v�, �e zobecn�n�m tohoto diagramu (kde
na m�st� $\{*\}$ vystupuje libovoln� $C$) dostaneme definici
\df{push-outu}.  Podstatn�j�� je si uv�domit, �e v p��pad� sou�inu
existence pevn�ho bodu nehraje velkou roli: je snadn� ov��it, �e sou�inem
$(A,a)$ a $(X,x)$ je $\big(A\times X,(a,x)\big)$.  To plyne z faktu, �e
u diagramu
$$\xymatrix{
A\times X\ar[r]\ar[d]&A\\X&\{*\}\ar[u]\ar[l]
}$$
nelze o komutativit� smyslupln� mluvit.  Pov�imn�te si nav�c, �e existuje
zobrazen� $A\times X\to\{*\}$, pon�vad� $\{*\}$ je termin�ln�m objektem v
mno�in�ch, a $\{*\}\to A\times X$, proto�e $A\times X$ je sou�in $A$ a $X$
a z $\{*\}$ vedou do $A$ a $X$ projekce.

S �vahami proveden�mi v��e se setk�me je�t� dvakr�t --- p�edn� u algeber (v
na�em p��pad� abelovsk�ch grup a vektorov�ch prostor�), kde uvid�me, �e
jednotkov� prvek grup (resp. nulov� prvky vektorov�ch prostor�) se v sou�tu 
"slep�" tak, jako je tomu u pointovan�ch mno�in, a d�le u p��kladu
pointovan�ch metrick�ch prostor� v Dodatku, kde uvid�me, jak vyzna�en� bod zajist�
existenci (nekart�zsk�ho) sou�inu.

\begin{exerc}
Spo�t�te inici�ln� a termin�ln� pointovan� mno�iny.
\end{exerc}

\begin{exerc} Zobecn�te strukturu pointovan�ch mno�in na strukturu \df{dvojic
mno�in}, co� jsou dvojice $(A,A_0)$ nepr�zdn�ch mno�in $A$ a $A_0$,
$A_0\subseteq A$.  V t�to struktu�e uva�ujeme zobrazen� zachov�vaj�c�
podmno�inu, tedy pro dvojice $(A,A_0)$ a $(B,B_0)$ mus� $f:A\to B$
spl�ovat $f(A_0)\subseteq B_0$.
\end{exerc}



\subsection{Struktura abelovsk�ch grup} 

Nech� $G$ a $H$ jsou
\label{abel} 
abelovsk� grupy, pak lze snadno ov��it, �e jejich sou�inem je kart�zsk� 
sou�in $G \times H$ s operac� $\cdot$ definovanou 
po slo�k�ch, tedy $(g_1,h_1)\cdot(g_2,h_2)=(g_1g_2,h_1h_2)$ pro
$(g_1,h_1),(g_2,h_2)\in G \times H$ a s jednotkov�m prvkem
$(1_G,1_H)$, kde $1_G\in G$ a $1_H\in H$ jsou jednotkov� prvky grup
$G$ a $H$.  

\begin{exerc} 
Jak mus� vypadat inverzn� prvky v $G \times H$?  Doka�te, �e je
$G\times H$ grupa a �e je $\cdot$ komutativn�.
\end{exerc}

Projekce $p_1:G\times H\to G$ a $p_2:G\times H\to H$ 
jsou pro takto definovan� operace na $G \times H$ z�ejm� homomorfismy grup.

Naopak disjunktn� sjednocen� $G$ a $H$ nem� ��dnou p�irozenou grupovou
strukturu, p�edev��m nen� podobn� jako v p��pad� pointovan�ch mno�in 
jasn�, co
m� b�t jednotkov� prvek.  Prozkoumejme situaci na konkr�tn�m p��pad�.
Nech� $G=(\{0,a\},+,0)$, $H=(\zz_3,+,0)$ jsou abelovsk� grupy.
Vyjd�me z disjunktn�ho sjednocen�, v n�m�
podobn� jako v p�ede�l�m p��klad� "slep�me" jednotkov� prvky $G$ a
$H$ a vznikl� jednotkov� prvek ozna��me $0$.  Dostaneme tedy mno�inu 
$\{0,a,1,2\}$.  Na t�to mno�in� je pot�eba definovat
strukturu abelovsk� grupy tak, aby injekce $G$ a $H$ byly grupov�
homomorfismy a byla spln�na p��slu�n� kouniverz�ln� vlastnost.  K tomu
je nutn� p�idat dal�� prvky: $a+1$ a $a+2$.  Ozna�me takto vzniklou
mno�inu $G+H$.  Operaci na $G+H$
pi�me form�ln� jako s��t�n�, p�i�em� plat� v�echny relace z
grup $G$ a $H$.  

\begin{exerc} 
Napi�te si tabulku operace $+$ na mno�in� $G+H$ a popi�te injekce
$j_1:G\to G+H$ a $j_2:H\to G+H$.
\end{exerc}

Nyn� ov���me, �e jde o sou�et $G$ a $H$.  Nech� $(X,+)$ je abelovsk�
grupa a $k_1:G\to X$ a $k_2: H\to X$ jsou homomorfismy grup.  Nyn�
mus�me definovat homomorfismus $h^X:G+H\to X$ tak, �e $k_1=h^X\circ
j_1$ a $k_2=h^X\circ j_2$ a potom dok�zat, �e je $h^X$ jedin� s touto
vlastnost�.
Polo�me $h^X(a)=k_1(a)$, $h^X(1)=k_2(1)$.  Uv�domte si, �e $a$ a $1$
jsou gener�tory v $G+H$, tedy ka�d� $g\in G+H$ je tvaru $na+m1$ pro
$n=0,1$ a $m=0,1,2$ (ov��te podle tabulky operace $\cdot$!).  
Roz�i�me $h^X$ na cel� $G+H$ tak, aby �lo o
homomorfismus grup, tedy $h^X(0)=1_X$ a $h^X(na+m1)=nh^X(a)+mh^X(1)$.

Nyn� p�edpokl�dejme, �e existuje homomorfismus $\widetilde{h^X}:G+H\to
X$ tak, �e $k_1=\widetilde{h^X}\circ j_1$ a $k_2=\widetilde{h^X}\circ
j_2$.  Pak ale $\widetilde{h^X}(a)=k_1(a)=h^X(a)$ a
$\widetilde{h^X}(1)=k_2(1)=h^X(1)$, a proto�e $h^X$ a
$\widetilde{h^X}$ jsou homomorfismy, kter� se shoduj� na gener�torech,
je $\widetilde{h^X}=h^X$.

Dok�zali jsme tedy, �e $(G+H,\cdot,0)$ je sou�tem $(G,+,0)$ a
$(H,+,0)$.

\medskip
Zopakujme si obecn� postup, kter�m jsme sou�et $G$ a $H$ vytvo�ili.
Nech� $(G,\cdot,1_G)$ a $(H,\star,1_H)$ jsou abelovsk� grupy.  
Pak jejich sou�tem je abelovsk�
grupa s nosnou mno�inou
$$G+H=\{g+h;g\in G, h\in H\}$$
a operac� $+$ definovanou $$(g_1+h_1)+(g_2+h_2)=g_1\cdot g_2 +
h_1\star h_2$$
pro $g_1,g_2\in G$, $h_1,h_2\in H$.  (Rozmyslete si dob�e, jak� je
v�znam jednotliv�ch znam�nek plus v definici operace.)  Jednotkov�m
prvkem je $1_G+1_H$, kde $1_G\in G$ a $1_H\in H$ jsou op�t jednotkov�
prvky grup $G$ a $H$.  Injekce $G$ a $H$ do $G+H$ jsou d�ny p�edpisem 
$j_1(g)=g+1_H$ pro $g\in G$ a $j_2(h)=1_G+h$ pro $h\in H$.  

\begin{exerc}
Ov��te, �e
p��slu�n� injekce jsou o grupov� homomorfismy a doka�te, 
�e jde skute�n� o sou�et.
Prov��te, �e na�e definice $(G+H,+,0)$ v p��kladu v��e odpov�dala
tomuto obecn�mu postupu a� na drobn� p�ezna�en� prvk�.
\end{exerc}

\section{Struktura vektorov�ch prostor�. Tenzorov� sou�in.}

ou�iny a sou�ty vektorov�ch prostor� jsou podobn� jako sou�iny a sou�ty
abelovsk�ch grup --- sou�inem vektorov�ch prostor� $U$ a $V$ je jejich
kart�zsk� sou�in s operacemi definovan�mi po slo�k�ch a sou�tem je
line�rn� obal $U\oplus V=\lin{U\coprod V}$ 
spolu s inkluzemi $j_1:U\to U\oplus V$ 
a $j_2:V\to U\oplus V$.  P�edev��m $U\oplus V$ je vektorov�
prostor, nebo� jde o line�rn� obal.

\begin{exerc} Porovnejte sou�et vektorov�ch prostor� se sou�tem 
abelovsk�ch grup.  Rozmyslete si dob�e, jak vypadaj� operace s��t�n� a
n�soben� skal�rem v $U\oplus V$.
\end{exerc}

\begin{exerc} 
Nech� $\kk=\zz_2$ je pole skal�r� 
a $A=\zz_2^2=\{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)\}$ 
a $B=\zz_2$ jsou vektorov� prostory nad $\kk$.  Popi�te sou�in a
sou�et $A$ a $B$, namalujte si $A$, $B$, $A\times B$ a $A\oplus B$.
\end{exerc}

Uv�domte si, �e ve cvi�en� jste uk�zali, �e $A\oplus B$ m� nad $\zz_2$ 
dimenzi 3.  Sou�in $A$ a $B$ m� tak� dimenzi 3.  Nyn� uk�eme obecn� vztah
mezi sou�tem a sou�inem.

\begin{thm} Nech� $U$ a $V$ jsou vektorov� prostory nad polem $\kk$.
Pak kart�zsk� sou�in $U\times V$ je isomorfn� sou�tu $U\oplus V$.
\end{thm} 
\begin{proof}
Jen n�znak: Vzhledem ke komutativit� lze ka�d� prvek $U\oplus V$ ps�t
jako $u+v$ pro $u\in U$ a $v\in V$.  P�i�a�me prvku $u+v$ dvojici
$(u,v)$.  Ov��te, �e toto p�i�azen� je hledan� isomorfismus.
\end{proof}

\begin{remark}Uv�domte si, �e p�edchoz� tvrzen� lze indukc� roz���it
na sou�in a sou�et kone�n� mnoha vektorov�ch prostor�.  Pro
sou�in a sou�et nekone�n� mnoha prostor� v�ak tvrzen� neplat�!
D�vodem je to, �e v sou�tu vznikaj� prvky jako�to line�rn� kombinace,
ty jsou v�ak jen kone�n�.  Sou�et nekone�n� mnoha prostor� si lze
p�edstavit jako podprostor jejich sou�inu.  Dobr�m p��kladem pro
intuitivn� vysv�tlen� je
prostor polynom� $\rr[x]$: zat�mco $\rr[x]$ je sou�tem v�ech prostor� 
$\{ax^i;a\in\rr\}$ pro $i\in \nn$, sou�inem t�chto prostor� je prostor
form�ln�ch mocninn�ch �ad $\{a_0+a_1x+a_2x^2+\dots; a_i\in\rr\text{
pro } i\in\nn\}$.
\end{remark}

\begin{exerc} Zamyslete se nad Probl�my k p�em��len� 1 a 2 ke kapitole 5
v \cite{slovak}.  Uv�domte si p�edev��m, �e $U\simeq (U\oplus V)/V$ a
pro libovoln� podprostor $W$ v $U$ plat� $U\simeq W\oplus U/W$.
\end{exerc}

Vid�me, �e kone�n� sou�in je "tot�" jako sou�et.  To je pon�kud
zvl�tn� situace, ale je typick� pro v�echny $R$-moduly nad
komutativn�m okruhem $R$.  Vra�te se zp�t k ��sti \ref{abel} a
uv�domte si, �e v abelovsk�ch grup�ch (co� jsou p�esn� $\zz$-moduly)
do�lo k t�mu�.

Specieln� pro vektorov� prostory pak plat�, �e pro kone�n�rozm�rn�
prostory $U$ a $V$ je $\dim U\oplus V=\dim U\times V=\dim U+\dim V$.
P�ipome�me, �e pro prostory nad kone�n�m polem je $\card U\times
V=\card U\oplus V=\card U\cdot \card V$.  Proto�e v�ak ve struktu�e
vektorov�ch prostor� je "velikost�" sp��e dimenze ne� po�et prvk�,
nab�z� se p�irozen� ot�zka, zda existuje prostor s rozumn�m vztahem k
prostor�m $U$ a $V$, jeho� dimenze je sou�tem dimenz� $U$ a $V$.

\begin{exerc} Bu� $\kk=\zz_2$, $U=\zz_2^2$ a $V=\zz_2$ vektorov�
prostory nad $\kk$.  Porovnejte po�et v�ech zobrazen� z $U$ do $V$ s
po�tem line�rn�ch zobrazen� z $U$ do $V$.  Na mno�in� v�ech line�rn�ch
zobrazen� $$\hom U V;=\{f:U\to V; f \text{ line�rn�}\}$$ lze definovat 
strukturu vektorov�ho prostoru p�edpisem 
$(c\cdot f+d\cdot g)(u)=cf(u)+dg(u)$
pro $c,d\in\kk$ a $f,g\in\hom U V;$.  Ujist�te se, zda
t�to struktu�e rozum�te.  Jak� je dimenze $\hom U V;$?  N�vod:
Uv�domte si, �e line�rn� zobrazen� lze reprezentovat maticemi.
\end{exerc}

\begin{exerc} Pokuste se p�edchoz� cvi�en� zobecnit.
\end{exerc}

Vid�me tedy, �e dimenze prostoru $\hom U V;$ m� vlastnosti, kter� jsme
po�adovali.  Nyn� ale pop��eme vektorov� prostor, kter� vypad� "v�c
jako sou�in" a jeho� dimenze je tak� sou�inem dimenz� sou�initel�.  Na
z�v�r uk�eme jeho vztah k prostoru line�rn�ch zobrazen�.

Za�n�me motiva�n�m p��kladem.  V�me, �e pro libovoln� mno�iny $A$,
$B$, $C$, kde $A$ a $B$ jsou nepr�zdn�, plat�
\begin{equation}
\left(A^B\right)^C\simeq A^{B \times C},\label{kartezska adjunkce}
\end{equation}
kde mno�inou $M^N$ ozna�ujeme v�echna zobrazen� z $N$ do $M$.
\begin{exerc} Najd�te bijekci mezi v��e uveden�mi mno�inami zobrazen�.
\end{exerc}
P�ejd�me k vektorov�m prostor�m.  Z dimenzn�ch d�vod� je z�ejm�, �e
nem��e platit
\begin{equation}
\hom W {\hom V U;};\simeq \hom {W \times V} U;.\label{neplatna adjunkce}
\end{equation}
Budeme definovat nov�, odli�n� "sou�in" ozna�en� $W\otimes V$ tak, �e 
$\dim W\otimes V=\dim V\cdot\dim W$ a nav�c uk�eme, �e nahrad�me-li
t�mto nov�m sou�inem kart�zsk� sou�in v prav� stran� rovnosti 
(\ref{neplatna adjunkce}), p��slu�n� isomorfismus je velice konkr�tn� a dob�e
pochopiteln� zobrazen�.

Budeme pot�ebovat n�sleduj�c� pojem:

\begin{defin} Nech� $U_1,\dots,U_n$ a $V$ jsou vektorov� prostory nad
$\kk$.
�ekneme, �e zobrazen� $$f:U_1\times\dots\times U_n\to V$$ je
\df{multiline�rn�}, pokud pro ka�d� $i=1,\dots,n$ je 
$$f(u_1,u_2,\dots,au_i+bu_i',\dots,u_n)=af(u_1,u_2,\dots,u_i,\dots,u_n)+
bf(u_1,u_2,\dots,u_i',\dots,u_n)$$
pro $u_j\in U_j$ pro $j=1,\dots, n$, $u_i,u_i'\in U_i$ a $a,b\in \kk$.
\end{defin}

�ada p��klad� multiline�rn�ch zobrazen� je v \cite{cadek}, kap. 4.  K
na�im ��el�m ale bude sta�it v�ta 4.6 tohoto textu, kterou ov�em
pou�ijeme jako definici.  T�m ov�em p�ijdeme o podstatnou ��st
popisu tenzorov�ho sou�inu a nebudeme schopni formulovat n�kter�
tvrzen�.  Pro na�e ��ely v�ak sta�� ch�pat tenzorov� sou�in jako
vektorov� prostor.  Pro z�jemce o hlub�� pohled na tenzorov� po�et
odkazujeme na ji� zm�n�nou 4. kapitolu \cite{cadek}.

\begin{defin} Nech� $U_1,\dots,U_n$ jsou vektorov� prostory
nad $\kk$.  Jejich \df{tenzorov� sou�in} $U_1\otimes \dots\otimes U_n$
je vektorov� prostor nad $\kk$ takov�, �e existuje
injektivn� multiline�rn� zobrazen� $\iota:U_1\times\dots\times U_n\to
U_1\otimes \dots\otimes U_n$
a pro ka�d� multiline�rn�
zobrazen� $f:U_1\times\dots\times U_n\to W$ existuje pr�v� jedno
line�rn� zobrazen� $\varphi:U_1\otimes\dots\otimes U_n\to W$ tak, �e
$f=\varphi\circ \iota$, neboli komutuje diagram
$$\xymatrix{
U_1\otimes\dots\otimes U_n\ar@{.>}[rr]^-\varphi&& W\\
U_1\times\dots\times U_n\ar[rru]_-f\ar[u]^-\iota
}
$$
Prvk�m tenzorov�ho sou�inu ��k�me \df{tenzory}.
\end{defin}

Tato definice je op�t definic� pomoc� univerz�ln� vlastnosti, tak jako
u sou�inu.  Pov�imn�te si p�edev��m toho, �e zvol�me-li postupn� za
prostor $W$ prostory $U_i$, faktorizuj� se p�es tenzorov� sou�in
projekce z kart�zsk�ho sou�inu.  Uv�domte si, �e $i$-tou projekci lze ch�pat
jako multiline�rn� zobrazen�, kter� je nulov� ve v�ech slo�k�ch krom�
$i$-t�.  V tomto smyslu je tedy tenzorov� sou�in ur�itou obdobou
sou�inu.  

\begin{exerc} Pokuste se dok�zat, �e tenzorov� sou�in je ur�en
jednozna�n� a� na isomorfismus.  Uv�domte si, jakou roli hraje to, �e
line�rn� zobrazen� $\varphi:U_1\otimes\dots\otimes U_n\to W$ existuje
pr�v� jedno.
\end{exerc}

Vzhledem k jednozna�nosti a� na isomorfismus sta�� popsat n�jak�
tenzorov� sou�in.  Abychom se vyhnuli definici du�ln�ch prostor�,
pop��eme tenzorov� sou�in pomoc� b�ze.  To bude tak� nejvhodn�j��
popis pro na�e dal�� �vahy.  Kv�li jednoduchosti z�pisu se omez�me na
tenzorov� sou�in dvou vektorov�ch prostor�.

Nech� $U$ a $V$ jsou vektorov� prostory, $\alpha=(u_1,\dots,u_n)$ b�ze
$U$ a $\beta=(v_1,\dots,v_m)$ b�ze $V$.  Zapi�me form�ln� dvojici 
$(u_i,v_j)$ symbolem $u_i\otimes v_j$ pro $i=1,\dots,n$ a
$j=1,\dots,m$.  
Polo�me
$$T=\lin\{u_i\otimes v_j;i=1,\dots,n,j=1,\dots,m\},$$
kde jednotliv� dvojice $u_i\otimes v_j$ pova�ujeme za line�rn�
nez�visl�.  
Pov�imn�te si, �e pak prostor $T$ m� dimenzi $n\cdot m$.

Definujme nyn� zobrazen� $\iota:U\times V\to T$ p�edpisem 
\begin{align*}
\iota(u,v)&=\iota(a_1u_1+\dots+a_nu_n,b_1u_1+\dots+b_mv_m)\\
&=a_1b_1u_1\otimes v_1+a_2b_1u_2\otimes v_1+\dots a_nb_mu_n\otimes v_m.
\end{align*}
Toto zobrazen� je z�ejm� biline�rn� (tak ozna�ujeme multiline�rn�
zobrazen� ze sou�inu dvou prostor�).  Zd�razn�me, �e $\iota:U\times
V\to T$ nen� line�rn� zobrazen�.

\begin{exerc} Ov��te, �e v��e definovan� $\iota: U\times V\to U\otimes
V$ je skute�n� biline�rn�.
\end{exerc}

Nech� nyn� $W$ je libovoln� prostor a $f:T\to W$ libovoln�
biline�rn� zobrazen�.  Polo�me 
$$\varphi(u_i\otimes v_j)=f(u_i, v_j)$$
pro $i=1,\dots,n$ a $j=1,\dots,m$ a roz�i�me toto zobrazen� line�rn�
na $T$, tedy pro ka�d� $c,d\in \kk$, $k=1,\dots,n$ a $l=1,\dots,m$
polo�me
$$\varphi(cu_i\otimes v_j+du_k\otimes v_l)=c\varphi(u_i\otimes v_j)
+d\varphi(u_k\otimes v_l)=cf(u_i,v_j)+d(u_k,v_l).$$
Takto definovan� zobrazen� $\varphi:T\to W$ je nutn� line�rn� a nav�c
z�ejm� $f=\varphi\circ\iota$.  

\begin{exerc} 
Uv�domte si, �e (z dimenzn�ch d�vod�) 
prvek $cu_i\otimes v_j+du_k\otimes v_l\in T$ nemus�
m�t vzor v zobrazen� $\iota:U\times V\to T$.  Rozmyslete si, jak
vypad� $\im \iota$.
\end{exerc}

Aby byl prostor $T$ tenzorov�m sou�inem $U$ a $V$, je nutn�, aby se
$f:U \times V\to W$ nefaktorizovalo 
p�es ��dn�
jin� line�rn� zobrazen� ne� p�es $\varphi:T\to W$.  Nech� se $f$
faktorizuje p�es $\psi: T\to W$.  Pak ale $\psi$ spl�v� s $\varphi$ na
$\im\iota$, podle p�edchoz�ho cvi�en� ale v�te, �e b�ze $T$ je
obsa�ena v $\im\iota$.  Z linearity $\varphi$ a $\psi$ dost�v�me
$\varphi=\psi$.  (Porovnejte tento d�kaz s d�kazem jednozna�nosti
faktorizace u sou�tu v ��sti \ref{abel})

Dok�zali jsme tedy, �e prostor $T$ se zobrazen�m $\iota:U \times V\to
T$ je tenzorov�m sou�inem prostor� $U$ a $V$.

\bigskip

Nyn� pop��eme vztah mezi prostorem line�rn�ch zobrazen� a tenzorov�m
sou�inem.  Chceme dok�zat vztah
\begin{equation}\label{adjunkce}
\hom W {\hom V U;};\simeq \hom {W\otimes V} U;.
\end{equation}

Nap�ed pop��eme ideu d�kazu.  Prvky prostoru $\hom W {\hom V U;};$
pop��eme pomoc� vhodn� b�ze jako line�rn� zobrazen�, kter� b�zov�m
vektor�m $W$ p�i�azuj� n�jak� matice, �ekn�me $i$-t�mu vektoru
p�i�ad�me n�jakou matici $A_i$.
Potom zvol�me takov� b�ze prostor� $\hom V U;$ a $W\otimes V$, �e
matice odpov�daj�c�ch si zobrazen� budou jen p�euspo��d�n�m matic
$A_i$ do vhodn�ch rozm�r�, p�i�em� sou�adnice vz�jemn�
si odpov�daj�c�ch prvk� budou toto�n�.

\begin{examplen} Nech� $U=\rr^2$, $V=\rr^4$ a $W=\rr^3$ a 
$f\in\hom W {\hom V U;};$ je line�rn� zobrazen�, kter� b�zov� prvky
$w_1$, $w_2$ a $w_3$ prostoru $W$ zobrazuje na
matice $A$, $B$ a $C$ typu $2\times 4$ odpov�daj�c� line�rn�m
zobrazen�m $V\to U$, p�i�em�
matice $A$ m� sloupce ozna�en� $a_1,a_2,a_3,a_4$ a podobn� $B$ a $C$.  
Existuje b�ze, v n�� 
jsou sou�adnice  $A$ tvaru
$$\begin{pmatrix} a_1\\a_2\\a_3\\a_4
\end{pmatrix}$$
a podobn� pro matice $B$ a $C$.  Tedy matice zobrazen� $f$ je blokov�
matice
$$\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\\a_4&b_4&c_4
\end{pmatrix}$$
Zobrazen� $f$ p�i�ad�me $g\in\hom {W\otimes V} U;$ takov�, �e ve
vhodn� b�zi $W\otimes V$ m� blokovou matici $(A|B|C)$.  Skute�n�, to
je matice typu $2\times 12$ ur�uj�c� line�rn� zobrazen� $W\otimes V\to
U$.

Jak vypadaj� v�echny zmi�ovan� "vhodn� b�ze"?  V prostoru matic typu
$r\times s$ vol�me v�dy b�zi tvo�enou maticemi ze sam�ch nul a jedn�
jedni�ky, p�i�em� tyto matice jsou uspo��d�ny tak, �e matice s
jedni�kou v $i$-t�m sloupci a $k$-t�m ��dku p�edch�z� matici s 
jedni�kou v $j$-t�m sloupci a $l$-t�m ��dku pr�v� tehdy, kdy� $i<j$
nebo $i=j$ a $k<l$.  Obecn�ji, nech� $U$ m� b�zi 
$\alpha=(u_1,\dots,u_n)$, $V$ m� b�zi $\beta=(v_1,\dots,v_m)$, pak v
$\hom V U;$ vol�me b�zi ze zobrazen�, kter� pos�laj� $i$-t� b�zov�
vektor na $j$-t� a v�e ostatn� na nulu, p�i�em� tuto b�zi uspo��d�me
analogicky jako v matic�ch.
V tenzorov�m sou�inu prostor� $U$ a $V$ pak vol�me b�zi 
$$(u_1\otimes v_1,u_1\otimes v_2,\dots,u_1\otimes
v_m,u_2\otimes v_1,\dots,u_2\otimes v_m,\dots,u_n\otimes v_m).$$
\end{examplen}

\begin{exerc} Ov��te, �e v uveden�ch baz�ch maj� prvky 
$\hom W {\hom V U;};$ a $\hom {W\otimes V} U;$ skute�n� dan�
sou�adnice. 
\end{exerc}

\begin{exerc} Uv�domte si, �e jsme dok�zali vztah (\ref{adjunkce}).
Volba baz� nehraje roli, nebo� tenzorov� sou�in je d�n pouze a� na
isomorfismus.  Projd�te si cel� d�kaz a pokuste se jej form�ln�
zapsat.  Vra�te se ke cvi�en�, v n�m� jste dokazovali vztah 
(\ref{kartezska adjunkce}) a uv�domte si podobnost obou d�kaz�.
\end{exerc}

\begin{remark} Vztah (\ref{adjunkce})
mezi prostorem line�rn�ch zobrazen�
$\operatorname{hom}$ a tenzorov�m sou�inem, p�esn�ji 
$\hom V -;$ a $V\otimes -$ je p��kladem velice d�le�it�ho a obecn�ho
vztahu, kter� se naz�v� adjunkc�.  K jeho pochopen� a k vysv�tlen�
pojmu adjungovan�ho p�ru funktor� je v�ak pot�eba
hlub�� teorie popsan� nap�. v 5. kapitole \cite{adamek}.
\end{remark}

\begin{exerc} Rozmyslete si, �e tenzorov� sou�in lze definovat pro
jak�koli $R$-moduly nad komutativn�m okruhem $R$ (promyslete si pot��e
v p��pad� nekomutativn�ho $R$).  Pokuste se spo��tat tenzorov� sou�iny
aditivn�ch grup $\zz_2$ a $\zz_3$ a obecn� $\zz_n$ a $\zz_m$.
Vzhledem k p��kladu \ref{abel} v�me, �e pro abelovsk� grupy $G$ a $H$
je mno�ina $\hom G H;=\{f:G\to H;f \text{ homomorfismus}\}$ abelovsk�
grupa.  Promyslete si vztah (\ref{adjunkce}) pro abelovsk� grupy.
Uv�domte si, �e pro $R$-moduly $P$, $Q$ nad nekomutativn�m okruhem $R$ 
je $\hom P Q;$ jen abelovsk� grupa a nikoli $R$-modul.
\end{exerc}

\appendix
\renewcommand{\sectionname}{Dodatek}
\section{Struktura metrick�ch prostor� a metrick�ch prostor� s
vyzna�en�m bodem}

V t�to ��sti uk�eme p��klad struktury, kde existuj� jin� ne� kart�zsk�
sou�iny.  Tento p��klad je pon�kud technicky n�ro�n�j��.  Pro pochopen� dal��ho
v�kladu nen� nutn� a pro prvn� �ten� jej doporu�ujeme p�esko�it.

\medskip

P�ipome�me, �e \df{metrick� prostor} je mno�ina $X$ spolu se zobrazen�m
$\rho:X\times X\to\langle 0,\infty)$ naz�van�m \df{metrika} a spl�uj�c�m pro ka�d�
$x,y,z\in X$
\begin{enumerate}
\item $\rho(x,y)=0$ pr�v� tehdy, kdy� $x=y$
\item $\rho(x,y)=\rho(y,x)$
\item $\rho(x,y)+\rho(y,z)\geq\rho(x,z)$.
\end{enumerate}
Prvky metrick�ho prostoru naz�v�me \df{body}
a metriku intuitivn� ch�peme jako vzd�lenost mezi body.  

Zobrazen�, kter� budeme uva�ovat mezi metrick�mi prostory, se naz�vaj�
\df{kontrakce} (sta�en�).  Nech� $(X,\rho)$ a $(Y,\sigma)$ jsou metrick�
prostory, pak zobrazen� $f:X\to Y$ je kontrakce, pokud pro ka�d�
$x_1,x_2\in X$ je spln�no $\rho(x_1,x_2)\geq \sigma(f(x_1),f(x_2))$.

\begin{remark}
N�zev kontrakce odr�� skute�nost, �e tato zobrazen� nezv�t�uj� vzd�lenost
mezi body metrick�ch prostor�.  P�esto�e se m��e na prvn� pohled zd�t, �e
kontrakc� je "m�lo", p�i bli���m sezn�men� s teori� metrick�ch prostor�
vysvitne, �e ve skute�nosti lze metriku, v n�� n�kter� zobrazen� nen�
kontrakc�, nahradit jinou, kter� je "v z�sad� stejn�" --- nap�. na mno�in�
$A=\{a,b\}$ nen� mezi metrikou $\rho(a,b)=1$ a $\sigma(a,b)=2$ p��li� velk�
rozd�l: body $a$ a $b$ jsou "kousek od sebe" a bez n�jak�ho absolutn�ho
m���tka nem� smysl jejich vzd�lenosti v obou metrik�ch porovn�vat mezi
sebou.  P�esn� popis vztah� r�zn�ch metrik z�sk�me, kdy� pop��eme
topologii, kter� je metrikou ur�ena, co� je obsahem v�t�iny standardn�ch
text� z funkcion�ln� anal�zy i topologie.  Dal�� v�klad na toto t�ma nen�
nutn�, proto�e struktura metrick�ch prostor� bude jen vhodn�m p��kladem
struktury bez sou�in� a sou�t�.
\end{remark}

Skute�n�, ve struktu�e metrick�ch prostor� neexistuj� sou�iny ani sou�ty.
Uk�eme nap�ed, �e ani dv� jednoprvkov� mno�iny nemaj� sou�et.  
Jednoprvkov� mno�ina m� jednozna�n� ur�enou metriku.  Ozna�me $M=\{m\}$ a
$N=\{n\}$.  Je z�ejm�, �e sou�et $M$ a $N$
mus� m�t alespo� dva body (vlo�en� $M$ a $N$ do $(A,\rho)$, $m\mapsto
a$, $n\mapsto b$, se nefaktorizuj� p�es jednoprvkovou mno�inu).  Podobn�
kv�li jednozna�nosti faktorizace nem��e m�t sou�et v�ce prvk� ne� dva.
Pokusme se tedy definovat metriku $\tau$ na $A$ tak, aby $(A,\tau)$ byla sou�tem 
$M$ a $N$, p�edpokl�dejme vlo�en� $M$ a $N$ popsan� v��e.  
Nech� tedy $\tau(a,b)=x\in\langle 0,\infty)$.  Pak by faktorizac� stejn� vlo�en� $M$ a
$N$ do $(A,\xi)$, kde $\xi(a,b)=2x$, byla identita $\id:A\to A$, kter� nen�
kontrakc�.  
$$\xymatrix{
\{m\}\ar[r]\ar[rd]&\{a\ b\} \ar@{.>}[d]_-\id&\{n\}\ar[l]\ar[ld]\\
&\{a\ b\}
}$$
Sou�et $M$ a $N$ tedy neexistuje.

Interpretace je z�ejm�.  Metrika definovan� na sou�tu $M$ a $N$ by musela
b�t takov�, jako by $M$ a $N$ byly disjunktn� sjednoceny, tedy vzd�lenost
mezi body $m$ a $n$ by musela b�t nekone�n�.  To ale nen� mo�n�,
proto�e p�ipou�t�me pouze kone�n� vzd�lenosti mezi body metrick�ho
prostoru.


Podobn� se dok�e, �e neexistuj� sou�iny.  
Ozna�me pro $n\in\nn$ symbolem $(A_n,\rho_n)$ metrick� prostory, kde
$A_n=\{a,b\}$ a $\rho_n(a,b)=n$.  Nech� $(\prod A_n, \rho)$ je sou�inem
p�es indexovou mno�inu $\nn$.  Najd�me prvky $x,y\in\prod A_n$ takov�, �e
$p_n(x)=a$ a $p_n(y)=b$ pro v�echna $n\in\nn$.  Nech� $\{z\}$ je
jednobodov� metrick� prostor.
Definujme pro v�echna $n\in\nn$ zobrazen� 
$q_n:\{z\}\to A_n$ p�edpisem $q_n(z)=a$ a $r_n:\{z\}\to A_n$
p�edpisem $r_n(z)=b$.  Z�ejm� v�echna $q_n$ a $r_n$ jsou kontrakce.  Z definice
sou�inu existuj� kontrakce $h_q:\{z\}\to \prod A_n$ a $h_r:\{z\}\to \prod
A_n$, p�es kter� se $q_n$ a $r_n$ faktorizuj�:
$$\xymatrix{\{z\}\ar[r]^-{h_q}\ar[rd]_-{q_n}&
\prod A_n\ar[d]^-{p_n}&\{z\}\ar[ld]^-{r_n}\ar[l]_-{h_r}\\
&A_n
}$$
Z toho plyne, �e pro ka�d�
$n\in\nn$ je $p_n(h_q(z))=a$ a
$p_n(h_r(z))=b$.  Ozna�me $x=h_q(z)$ a $y=h_r(z)$.  
Kdyby byly v�echny projekce $p_n$ kontrakce, pak
by pro ka�d� $n\in\nn$ platilo
$$\rho(x,y)\geq \rho_n(p_n(x),p_n(y))=n$$
a to nen� mo�n�.  Tedy $\rho$ nen� metrika a tud�� sou�in
$\big((A_n,\rho_n)\big)_{n\in\nn}$ neexistuje.

\bigskip

Uva�me nyn� strukturu metrick�ho prostoru s vyzna�en�m bodem a mezi
takov�mi strukturami uva�ujme pouze kontrakce zachov�vaj�c� pevn� bod.  Pak
p�edev��m existuj� sou�ty, co� je lehk� uk�zat: Nech� $(X_i,\rho_i,x_i)_{i\in
I}$ je syst�m metrick�ch prostor� s vyzna�en�m bodem.  Jejich sou�tem 
$(X,\rho,x)$ je metrick�
prostor s vyzna�en�m bodem $x\in X$, kde $(X,x)$ je sou�tem syst�mu
pointovan�ch mno�in 
$(X_i,x_i)_{i\in I}$.  Metriku $\rho$ definujeme takto:
$$\rho(x,y)=\begin{cases}\rho_i(x,y) \text{ pro } x,y\in X_i\\
\rho(x,x_i)+\rho(y,x_j)\text{ pro } x\in X_i, y\in X_j
\end{cases}$$
Je z�ejm�, �e $\rho$ je metrika na $X$ a �e vlo�en� $X_i$ do $X$ je
kontrakce.

\medskip
Nyn� uk�eme, �e kart�zsk� sou�in metrick�ch prostor� nemus� b�t metrick�
prostor.
Uva�me jako v��e syst�m metrick�ch prostor� s vyzna�n�m bodem $(\{a,b\},\rho_n,a)$,
$n\in\nn$, kde
$\rho_n(a,b)=n$.  Uva�me n�sleduj�c� prvky $\prod
A_n=\big\{f:\nn\to\{a,b\}\big\}$:
$f_a:\nn\to\{a,b\}$, $f_a(n)=a$, je ve v�ech projekc�ch vzorem $a$, p�esn�ji,
$(p_n\circ f_a)(m)=a$ pro ka�d� $m,n\in\nn$, podobn� $f_b:\nn\to\{a,b\}$, $f_b(n)=b$
je vzorem $b$ ve v�ech projekc�ch.  P�edpokl�dejme, �e existuje metrika na 
$\prod A_n$, ozna�me ji $\rho$.  Pak 
$$\rho(f_a,f_b)\geq \rho_n(p_n(f_a),p_n(f_b))=n$$
pro v�echna $n\in\nn$, co� nen� mo�n�.
\begin{exerc}
Projd�te si d�kaz, �e sou�in metrick�ch prostor� nemus� b�t metrick� prostor.
Uv�domte si, v �em se li�il od v��e uveden�ho d�kazu.  Pov�im�te si, �e
v kart�zsk�m sou�inu $\prod A_n$ nen� t�eba hledat prvek, kter� je vzorem $a$,
resp. $b$,
ve v�ech projekc�ch --- tyto prvky jsou p��mo ur�eny projekcemi a tvarem
kart�zsk�ho sou�inu.
\end{exerc}

Nyn� uk�eme, �e existuje (nekart�zsk�) sou�in.  Nech� $I$ je nepr�zdn�
mno�ina, $(A_i,\rho_i,a_i)_{i\in I}$ je
syst�m metrick�ch prostor� s vyzna�en�m bodem.  Definujme na kart�zsk�m
sou�inu $\prod A_i$ funkci $\rho:\prod A_i\to \langle 0,\infty\rangle$
p�edpisem
$$\rho(x,y)=\sup_{i\in I} \rho_i(p_i(x),p_i(y))$$
pro v�echna $x,y\in\prod A_i$.  Pov�imn�te si, �e $\rho$ spl�uje vlastnosti
metriky p�i b�n� aritmetice s $\infty$.

Dok�eme, �e mno�ina $A=\{x\in \prod A_i; \rho(x,*)<\infty\}$
spolu s
projekcemi $p_i:A\to A_i$, kter� jsou z��en�m projekc� z kart�zsk�ho sou�inu
na $A$, 
je sou�inem syst�mu $(A_i,\rho_i,a_i)_{i\in I}$, p�i�em� vyzna�en�m bodem je
vyzna�en� bod $*\in\prod A_i$ a jako metriku uva�ujeme $\rho$ definovan� v��e.  

P�edev��m $\rho(*,*)=0<\infty$ a tedy $*\in A$.  D�le $(A,\rho)$ je metrick� prostor,
nebo� $\rho$ na $A$ nenab�v� nekone�n�ch hodnot a z�ejm� spl�uje podm�nky
$(1)$--$(3)$
z definice metriky.  Z definice suprema d�le plyne, �e
v�echny projekce $p_i:A\to A_i$ jsou kontrakce.

Nech� $(X,\sigma,x)$ je libovoln� metrick� prostor s vyzna�en�m bodem 
a $q_i:X\to A_i$
jsou kontrakce zachov�vaj�c� vyzna�en� bod.   Mus�me dok�zat, �e
existuje jedin� kontrakce $h:X\to A$ zachov�vaj�c� pevn� bod takov�, �e pro ka�d�
$i\in I$ je $q_i=p_i\circ h$.
Z definice kart�zsk�ho sou�inu $\prod A_i$ ch�pan�ho jako 
sou�in pointovan�ch mno�in $A_i$, $i\in I$, existuje jedin� zobrazen� 
$h:X\to \prod A_i$ zachov�vaj�c� pevn� bod.
Uk�eme, �e obrazem tohoto
zobrazen� je $A$ a �e $h$ ch�pan� jako zobrazen� z metrick�ho prostoru
$(X,\sigma)$ do $(A,\rho)$ je kontrakce.

P�edpokl�dejme, �e $c\in \prod A_i \setminus A$ je v obraze $h$, tedy
existuje $y\in X$ takov�, �e $h(y)=c$.  Proto�e pro ka�d� $i\in I$ je
$q_i:X\to A_i$ kontrakce, mus� platit
$$\sigma(x,y)\geq\rho_i(q_i(x),q_i(y))=\rho_i(a_i,q_i(y))=
\rho_i(a_i,p_i(h(y))=\rho_i(a_i,p_i(c))=\infty,$$
nebo� $c\not\in A$.  To by ale znamenalo, �e $(X,\sigma)$ nen� metrick�
prostor, co� je spor.  Obrazem $h:X\to \prod A_i$ je tedy $A$ a m��eme ps�t
$h:X\to A$.

Z definice $A$ jako�to podmno�iny $\prod A_i$ a z definice $p_i:A\to A_i$ 
je z�ejm�, �e nem��e existovat jin� $\widetilde h:X\to A$ s vlastnost�
$q_i=p_i\circ\widetilde h$ pro v�echna $i\in I$.  

Nyn� uk�eme, �e $h:X\to A$ je kontrakce.  Nech� $y,z\in X$ jsou libovoln�.
Pak pro ka�d� $i\in I$ je 
$\sigma(y,z)\geq\rho_i\big(q_i(y),q_i(z)\big)$, nebo� $q_i:X\to A_i$ je kontrakce.
Proto�e v�ak $\rho\big(h(y),h(z)\big)$ je supremem, tedy nejmen�� horn� z�vorou, v�ech
$\rho_i\big(p_i(h(y)),p_i(h(z))\big)=\rho_i\big(q_i(y),q_i(z)\big)$, je $\sigma(y,z)\geq
\rho\big(h(y),h(z)\big)$, co� jsme cht�li uk�zat.

\bigskip
Uk�zali jsme tedy, �e $(A,\rho,*)$ je sou�inem $(A_i,\rho_i,a_i)_{i\in I}$.


\begin{exerc}
Promyslete si, jak vypad� sou�in syst�mu $(\{a,b\},\rho_n,a)$,
$\rho_n(a,b)=n$ pro $n\in\nn$.
\end{exerc}

\begin{exerc}
Projd�te si znova d�kaz tvrzen�, �e neexistuje sou�in metrick�ch prostor�.
Uva�ujte v metrick�ch prostorech $A_n=\{a,b\}$ vyzna�en� bod $a$.
Rozmyslete si, pro� nelze definovat zobrazen� $r_n:\{z\}\to A_n$ ve struktu�e
metrick�ch prostor� s vyzna�en�m bodem.  Uv�domte si, �e v tom spo��v� d�vod,
pro� existuj� sou�iny metrick�ch prostor� s vyzna�en�m bodem.
\end{exerc}

\begin{remark}
V sou�inu metrick�ch prostor� se mohou vyskytovat body, kter� jsou
od sebe p��li� daleko, co� je j�drem d�kazu, �e sou�in metrick�ch prostor�
nemus� existovat.  Podobn� v kart�zsk�m sou�inu metrick�ch prostor� s
vyzna�en�m bodem mohou existovat body p��li� vzd�len� od vyzna�en�ho bodu.
Jejich vypu�t�n�m ale z�sk�me metrick� prostor, p�es kter� se jednozna�n� 
faktorizuj� projekce z libovoln�ho metrick�ho prostoru, nebo� ten ��dn�
body nekone�n� vzd�len� od vyzna�en�ho bodu neobsahuje.
Vid�me tedy, �e podobn� jako u sou�t� umo�nila existence vyzna�en�ho bodu
konstruovat i sou�iny.  Bez vyzna�en�ho bodu nelze ��ci, kter� body vypustit,
proto�e nev�me, od �eho by m�ly b�t p��li� vzd�len�.  
\end{remark}
\begin{thebibliography}{xxxx}
\bibitem[A]{adamek} Ad�mek, J., Matematick� struktury a kategorie,
Matematick� semin�� SNTL, Praha 1982.
\bibitem[AKR]{akr} Ad�mek, J., Koubek, V., Reiterman, J., Z�klady obecn� topologie,
Matematick� semin�� SNTL, Praha 1977
\bibitem[B\v{S}]{balcar} Balcar, B., �t�p�nek, P., Teorie mno�in, Academia,
Praha 2001 (2.vyd.).
\bibitem[�]{cadek} �adek, M., Line�rn� algebra a geometrie III.,
skripta dostupn� na webov� str�nce autora 
{\tt http://www.math.muni.cz/\~{}cadek}
\bibitem[S]{slovak} Slov�k, J., Line�rn� algebra,
skripta dostupn� na webov� str�nce autora\\
{\tt http://www.math.muni.cz/\~{}slovak}
\end{thebibliography}

\vfill
\hrule\medskip
\noindent{\footnotesize
Tento text podl�h� licenci {\em Letm�ho �vodu\/}: jeho kop�rov�n�, 
zm�ny a �pravy �i
publikov�n� pod vlastn�m jm�nem jsou dovoleny.  Nen� dovoleno do vyti�t�n�ho
textu balit masn� v�robky.  O chyb�ch �i nedostatc�ch
ve verzi textu na na�ich  str�nk�ch pros�m informujte na adresu {\tt
elvis@spiknuti.org}.}

\end{document}
