Co občas chybí v učebnicích

Projekce

Nechť 𝔼_{n} je n-rozměrný euklidovský prostor, U ⊆ 𝔼_{n} jeho podprostor. Víme, že pak existuje právě jedno lineární zobrazení p_{U} : 𝔼_{n} → 𝔼_{n} takové, že p_{U}|U = id_{U} a kerp_{U} = U^{⊥}. Toto zobrazení nazýváme ortogonální projekce. Z definice p_{U} okamžitě plyne, že Imp_{U} = U. Protože 𝔼_{n} = U ⊕ U^{⊥}, lze každý vektor v ∈ 𝔼_{n} jednoznačně psát jako součet vektorů v_{1} ∈ Imp_{U} a v_{2} ∈ kerp_{U}.

Povšimněte si, že zobrazení p_{U} je idempotentní, tj. splňuje rovnost

p_{U} ∘ p_{U} = p_{U}.

Skutečně, na U splývá p_{U} s identitou, která je idempotentní, na U^{⊥} splývá s nulovým zobrazením, které je také idempotentní.

Využijme tuto vlastnost k zobecnění ortogonální projekce na libovolné vektorové prostory.

Definice. Nechť V je vektorový prostor nad polem 𝕂. Řekneme, že lineární zobrazení P : V → V je projekce, pokud P ∘ P = P.

Příklad. Ortogonální projekce této definici zřejmě vyhovuje. Pro libovolné V je identita na V projekce, nulové zobrazení je projekce.

Tvrzení. Nechť V je vektorový prostor nad polem 𝕂 a P : V → V projekce. Pak V = ImP ⊕ kerP.

Důkaz. Buď v ∈ V libovolný vektor. Pak v = P v+(v−P v), přičemž zřejmě P v ∈ ImP a P (v−P v) = P v−P P v = P v−P v = 0, tedy v−P v ∈ kerP. Nechť v ∈ ImP ∩kerP, označme u ∈ P^{−1}(v) libovolný vzor v. Pak P P u = P v = 0, neboť v ∈ kerP, ale z definice projekce platí P P u = P u = v, tedy v = 0 a ImP ∩ kerP = {0}. □

Všimněte si, že v důkazu Tvrzení jsme ukázali, že P | ImP = id_{Im P}. Skutečně, každé v ∈ ImP je tvaru v = P u pro vhodné u ∈ V a z definice projekce plyne

P v = P P u = P u = v.

Tedy projekce má stejnou vlasnost jako ortogonální projekce — její zúžení na obraz splývá s identitou. Zvolme nyní libovolnou bázi α = (v_{1}, …, v_{n}) prostoru V tak, že (v_{1}, …, v_{k}) je báze ImP a (v_{k+1} , …, v_{n}) báze kerP. Pak platí

(P)_{αα} = (\begin{matrix}E & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) ,

kde E je jednotková matice k × k.

Dokázali jsme tak, že Jordanův tvar každé projekce se skládá z bloků 1 × 1 a vlastní čísla jsou 1 nebo 0. Vlastní čísla lze ale spočítat algebraicky přímo z definice: nechť λ ∈ 𝕂 je vlastní číslo P : V → V příslušné vlastnímu vektoru v ∈ V, pak

λv = P v = P (P v) = P λv = λP v = λ^{2}v,

z čehož plyne λ^{2} = λ a jedinými idempotentními prvky v poli 𝕂 jsou právě 0 a 1.