Lineární zobrazení na vektorovém prostoru se skalárním součinem

Definice. Mějme prostor všech lineární zobrazení na vektorového prostoru nad ℂ konečné dimenze se skalárním součinem (𝕍, (,)) na sebe. Takový prostor se označuje Hom(𝕍, 𝕍) . Jedná se opět o vektorový prostor (rozmyslete si). Můžeme teď definovat normu T ∈ Hom(𝕍, 𝕍) nasledovně:

∥T ∥ = sup{∥T x∥ : x ∈ 𝕍, ∥x∥ ≤ 1}

( Rozmyslete si, že takto definované zobrazení Hom(𝕍, 𝕍) ⟶ ℝ splňuje axiomy normy a že navíc pro každý T ∈ Hom(𝕍, 𝕍) platí ∥T ∥ < ∞ )

Poznámka. Pro libovolnou množinu M a vektorový prostor platí, že Hom(M, 𝕍) je vektorový prostor.

Poznámka. Jedná se o obecnější princip, rozšíříme-li naši definici i na některé vektorové prostory nekonečné dimense (Hilberovy prostory ℍ) , mluvíme pak o tzv. ohraničených operátorech. To jsou prvky T ∈ Hom(ℍ, ℍ) pro které platí ∥T ∥ < ∞. Všechny naše další úvahy a věty platí právě pro totu třídu operátorů.

Věta. Nechť pro T ∈ Hom(𝕍, 𝕍) platí, že (T x, x) = 0 pro každé x ∈ 𝕍. Pak T je triviální zobrazení.

Důkaz. Platí tedy (T (x + y), (x + y)) = 0, (T (x + ıy), (x + ıy)) = 0. Z bilinearity skalárního součinu máme (T x, y)+(T y, x) = 0 a −ı(T x, y)+ı(T y, x) = 0. Vynásobením druhé rovnice ı a sečtením dostaneme (T x, y) = 0 pro každé x, y ∈ 𝕍. Dosádíme y = T x a máme celkem (T x, T x) = 0 tedy ∥T x∥ = 0 a to může splňovat jen nulový vektor. Tedy T x = 0. □

Poznámka. Uvědomte si, že věta neplatí, uvažujeme-li vektorový prostor nad polem ℝ .

Definice. Pro operátor T ∈ Hom(𝕍, 𝕍) definujeme adjungovaný lineární operátor T^{∗} ∈ Hom(𝕍, 𝕍) jako jediný lineární operátor splňující (T x, y) = (x, T^{∗}y) pro všechna x, y ∈ 𝕍 a pro který platí ∥T ∥ = ∥T^{∗}∥ .

Poznámka. Je-li 𝕍 konečné dimenze, můžeme ve vhodně zvolené bázi skalární součin vyjádřit x^{⊥}Qy, potom rovnice (T x)^{⊥}Qy = x^{⊥}QT^{∗}y jde přepsat na T^{⊥}Q = QT^{∗} a celkem máme, že T^{∗} = Q^{−1}T^{⊥}Q . T^{∗} tedy vždy existuje a je dán jednoznačně.

Poznámka. To, že operátor existuje a je určen jednoznačne i pro vektorové prostory spočetné dimense lze nalézt např. v [] na str.

Věta. Zobazení ∗ : Hom(𝕍, 𝕍) ⟶ Hom(𝕍, 𝕍) je involutivní homomorfismus vektorových prostorů (𝕍, +, ℂ) i okruhů (𝕍, ∘, +) (kde násobení je skládání funkcí a sčítání je sčítání na obraze). Tj. ∗ ∈ Hom(Hom(𝕍, 𝕍), Hom(𝕍, 𝕍)) , které splňuje ∗^{2} = id

Důkaz. Bilinearita skalárního součinu zaručuje zachovávání sčítání. Násobení skalárem, skládáni:

(λT x, y) = λ(T x, y) = λ(x, T^{∗}y) = (x, \overline{λ}T^{∗}y)

(ST x, y) = (T x, S^{∗}y) = (x, T^{∗}S^{∗}y)

A konečně involuce:

(T x, y) = (x, T^{∗}y) = \overline{(T^{∗}y, x)} = \overline{(x, T^{∗∗}y)} = (T^{∗∗}x, y)
□

Poznámka. Přísně vzato se o homomorfismus nejedná. Všiměme si, že ℂ operuje na T^{∗} svou konjungcí a operátory se skládají v opačném pořadí. Tomu se říká antihomomorfismus. ( Jak to spravit? )

Věta. Pro T ∈ Hom(𝕍, 𝕍) platí, že kerT^{∗} = (ImT)^{⊥} a kerT = (ImT^{∗})^{⊥}

Důkaz. y ∈ kerT^{∗} ⇔ T^{∗}y = 0 ⇔ (x, T^{∗}y) = 0(∀x ∈ 𝕍) ⇔ (T x, y) = 0(∀x ∈ 𝕍) ⇔ y ∈ (ImT)^{⊥} Druhá část platí dosadíme-li za operátor T jeho adjungci T^{∗} .

□

Definice. T ∈ Hom(𝕍, 𝕍) nazýváme :

(1) Normální, platí-li T T^{∗} = T^{∗}T

(2) Samoadjungovaný, platí-li T^{∗} = T

(3) Unitární, platí-li T^{∗}T = id = T T^{∗}

(4) Projekce, platí-li T^{2} = T

Příklad. (1) Operátor id splňuje všechny podmínky .

(2) Každý samoadjungovaný i každý unitární je normální.

Věta. Pro T ∈ Hom(𝕍, 𝕍) platí:

(1) T normální ⟺ ∥T^{∗}x∥ = ∥T x∥(∀x ∈ 𝕍)

(2) T normální ⟹ kerT = kerT^{∗}

(3) Pokud T je normální a x ∈ 𝕍 je vlastní vektor T příslušný vlastnímu číslu λ ∈ ℂ ,pak x je vlastním vektor operátoru T^{∗} příslušný vlastnímu číslu \overline{λ} .

(4) T normální, λ, μ jsou dvě různá vlastní čísla, pak jsou příslušné vlastní vektory ortogonální.

Důkaz. (1) ∥T x∥^{2} = (T x, T x) = (T^{∗}T x, x)

∥T^{∗}∥^{2} = (T^{∗}, T^{∗}x) = (T T^{∗}x, x) .

(2) Plyne z (1).

(3) (T − λI) je normální a můžeme aplikovat (2), x je tedy vlastním vektorem operátoru T^{∗}. Z definice T^{∗} vypočteme příslušnou vlastní hodnotu.

(4) λ(x, y) = (λx, y) = (T x, y) = (x, T^{∗}y) = (x, \overline{μ}y) = μ(x, y) pokud λ ≠ μ musi nutně být x⊥y

□

Poznámka. Podmínka (1), která je ekvivalentní s tím, že operátor je normální říka, že norma obrazu každého vektoru je stejná u T i T^{∗} . Odtud název normální.

Věta. Pro U ∈ Hom(𝕍, 𝕍) jsou následující podmínky ekvivalentní:

(1) U je unitární.

(2) ImU = 𝕍 a (Ux, Uy) = (x, y)(∀x, y ∈ 𝕍)

(3) ImU = 𝕍 a ∥Ux∥ = ∥x∥(∀x ∈ 𝕍)

Důkaz. U je unitární ⟹ Im(U) = 𝕍, U^{∗}U = I ⟹ (Ux, Uy) = (x, U^{∗}Uy) = (x, y) ⟹ (c). A nakonec (U^{∗}Ux, x) = (Ux, Uy) = ∥Ux∥^{2} = ∥x∥^{2} = (x, x)(∀x ∈ 𝕍) a tedy U^{∗}U = I .

□

Poznámka. Unitární operátory musí být invertibilní prvky v Hom(𝕍, 𝕍) .

Věta. Nechť P ∈ Hom(𝕍, 𝕍) je projekce, pak následující jsou ekvivalentní:

(1) P je samoadjungovaný

(2) P je normální

(3) ImP = (kerP)^{⊥}

(4) (P x, x) = ∥P x∥^{2}(∀x ∈ 𝕍) tj. ortogonální projekce

Důkaz. (1) (1) ⟹ (2) zřejmé (2) (2) ⟹ ker(P) = (Im(P))^{⊥} a aplikujeme ⊥ ⟹ (3)

(3) (3) ⟹ (x ∈ 𝕍)x = y + z, y⊥z, P y = 0, P z = z ⟹ P x = z (P x, x) = (z, z) = (P x, P x) = ∥P x∥^{2}

(4) ∥P x∥^{2} = (P x, x) = (x, P^{∗}x) = \overline{(P^{∗}x, x)} = ( protože ∥P x∥^{2} ∈ ℝ) = (P^{∗}x, x) celkem P = P^{∗}

□

Věta. Pokud S ∈ Hom(𝕍, 𝕍) je samoadjungovaný operátor pak ST = 0 ⟺ ImS⊥ImT

Důkaz. (Sx, T y) = (x, ST y) □

TeXt určený pro Laplus-2004, Jaroslav Hrdina, 8.3.2004.