\documentclass[12pt,a4paper,leqno]{amsart}

\pagestyle{myheadings}

\textwidth=154mm

\hoffset=-14mm

\usepackage{latexsym,amsmath,amsfonts,amssymb,xypic}

\usepackage{czech}

\newtheorem*{thm}{V�ta}

\newtheorem{thmn}{V�ta}[section]

\newtheorem*{cor}{D�sledek}

\newtheorem*{lemma}{Lemma}

\newtheorem{lemman}[thmn]{Lemma}

\newtheorem*{prop}{Tvrzen�}

\newtheorem{propn}[thmn]{Tvrzen�}

\newtheorem*{ap*}{Appendix}

\theoremstyle{definition}

\newtheorem*{defin}{Definice}

\newtheorem*{remark}{Pozn�mka}

\newtheorem{remarkn}[thmn]{Pozn�mka}

\newtheorem*{example}{P��klad}

\newtheorem{examplen}{P��klad}

\newtheorem*{exerc}{Cvi�en�}
%%
%%
\newenvironment{mylist}{\begin{list}{(\/\alph{enumi}\/)}{\usecounter{enumi}
\setlength{\rightmargin}{0pt}
\setlength{\leftmargin}{5pt}
\setlength{\itemindent}{0pt}
\setlength{\itemsep}{.5\jot}
%\setlength{\topsep}{-12pt}
}}{\end{list}}

\def\id{\operatorname{id}}

\def\const{\operatorname{const}}

\def\im{\operatorname{Im}}

\def\re{\operatorname{Re}}

\def\tr{\operatorname{tr}}

\def\lin{\operatorname{Lin}}

\def\af{\operatorname{Af}}

\def\sign{\operatorname{sign}}

\newcommand{\card}{\operatorname{card}}

\def\hom #1 #2;{\operatorname{Hom}(#1,#2)}

\def\st{\operatorname{st}}

\def\mat{\operatorname{Mat}}

\def\diag{\operatorname{diag}}

\def\rr{\mathbb{R}}

\def\cc{\mathbb{C}}

\def\kk{\mathbb{K}}

\def\ee{\mathbb{E}}

\def\zz{\mathbb{Z}}

\def\qq{\mathbb{Q}}

\def\nn{\mathbb{N}}

\def\ss{\mathbb{S}}

\def\A{{\mathcal A}}

\def\B{{\mathcal B}}

\def\P{{\mathcal P}}

\def\E{{\mathcal E}}

\def\N{{\mathcal N}}

\def\jj{\mathbb{J}}

\def\s #1{{\mathcal S}_{#1}}

\newcommand{\dd}[2][]{\frac{\partial #1}{\partial #2}}

\def\vek #1{\/{\mathbf#1}\/} %vektory psane tucne
%\def\vek #1{{\boldkey #1}} vyzkouset, jak tohle funguje
 
\def\sour #1{\/{\mathbf#1}\/} %souradnice vektoru v neuvedene bazi, 
%take tucne, casem bud bude vypadat jinak, nebo prejmenuj na \vek

\def\bod #1{[#1]}	%linearni obal aritmetickeho zastupce, bod v \P_n
%\def\bod #1{\langle #1\rangle} %a puvodni definice, ktera se libila mne

\def\vct #1{\overrightarrow{#1}} %-> oznacujici vektor z bodu do bodu

\def\vctc #1{\overrightarrow{#1}
{\lower-1.5ex\hbox{$\mathbb{\scriptstyle C}$}}}
	%->cc oznacujici vektor z bodu do bodu v komplexifikaci

\newcommand{\skal}{\cdot} %skalarni soucin -- mozna bude chtit tlustsi tecku

%\newcommand{\df}[1]{{\em #1}\index{#1}} %definovany pojem v definici
\newcommand{\df}[1]{{\em #1}} %definovany pojem v definici

%\makeindex

\newcommand{\trid}[1]{[#1]} % trida ekvivalence

\catcode`\"=13 \def"{\begingroup\clqq \def"{\crqq\endgroup}} %ceske uvozovky 

%\setlength{\parskip}{1ex}

%\setlength{\belowdisplayskip}{24pt plus 3pt minus 9pt}

%% konec definic a maker
%%
%%



\begin{document}

\begin{center}{\large\bf Letm� �vod do teorie afinn�ch prostor�
}\\
\sc T�et� pracovn� verze
\end{center}

\bigskip

\noindent{\small\em C�lem tohoto textu je popsat akce grup na mno�in�ch,
definovat abstraktn� afinn� prostor jako�to mno�inu se strukturou 
danou akc� zam��en�, charakterizovat afinn� prostory pomoc�
isomorfn�ch afinn�ch prostor� speci�ln�ho tvaru, popsat afinn� b�ze,
afinn� sou�adnice, d�le pak b�ze bod� v obecn� poloze a sou�adnice  
sou�adnice vzhledem k t�mto baz�m.  D�le definujeme afinn� zobrazen� 
a afinn� grupu a uk�eme, jak operuje na sou�adnic�ch a baz�ch.}

\bigskip
{\noindent\bf Motiva�n� p��klad:}
Nech� $f:\rr_2[x]\to\rr$ je line�rn� zobrazen� zadan� p�edpisem
$$f(ax^2+bx+c)=a+c.$$  Ozna�me symbolem $P$ vzor $6\in\rr$, tedy
$$P=\{ax^2+bx+c\in\rr_2[x]; a+c=6\}=f^{-1}(6).$$

Pov�imn�me si, �e pro ka�d� prvek $p\in P$ a ka�d� vektor z j�dra
$u\in\ker f=f^{-1}(0)$ plat�
$p+u\in P$ a pro ka�d� $v\in \rr_2[x]-\ker f$ plat�
$p+v\not\in P$.  D�le pro ka�d� $p, q\in P$ je $p-q\in \ker f$.

D�ky vlastnostem vektorov�ho prostoru $\rr_2[x]$ nav�c z�ejm� 
plat� n�sleduj�c� na prvn� pohled nezaj�mav� vlastnosti
\begin{eqnarray}
\forall p\in P\forall u,v\in \ker f: (p+u)+v=p+(u+v)\label{jako akce1}\\
\forall p\in P: p+0=p\\
\forall p\in P\forall u\in \ker f: (p+u=p\implies u=0)\\
\forall p,q\in P\exists ! u\in \ker f: p+u=q\label{jako tranzitivni}
\end{eqnarray}
Uk�eme, �e mno�ina $P\subseteq\rr_2[x]$ je typem velice d�le�it�
struktury.  



\section{Akce grup}
\begin{defin}Bu� $A\neq \emptyset$, $(G,\cdot)$ grupa.  Pak zobrazen�
$\star:A\times G\to A$ nazveme \df{akce grupy $G$ na mno�in� $A$} a
zapisujeme symbolicky jako $a\star g=\star(a,g)$,
pokud spl�uje vlastnosti
\begin{eqnarray}
\forall a\in A\forall g,h\in G: (a\star g)\star h=a\star(g\cdot
h)\label{akce1}\\
\forall a\in P: a\star 1=a
\end{eqnarray}
Pokud je z kontextu z�ejm�, o jakou akci jde, ��k�me stru�n�, �e $G$
\df{operuje} na $A$.
\end{defin}

\begin{remark}
V��e uveden� definice je vlastn� definic� {\em prav�} akce.  
Pokud bychom nahradili vlastnost~\ref{akce1} vlastnost�
\begin{equation}
\forall a\in A \forall g,h\in G: (a\star g)\star h=a\star(h\cdot
g)\label{naopak}\\
\end{equation}
budeme zobrazen� $\star$ naz�vat \df{levou akc�}.  Pro komutativn�
grupy ztrat� toto rozli�ov�n� smysl.  Tvrdo��jn� lp�n� na prav�ch
akc�ch je v mnoha n��e uveden�ch p��kladech nevhodn�, ale
pova�ujeme pe�liv� rozli�ov�n� za 
��eln� a douf�me, �e si �ten�� rozd�l uv�dom� a zapamatuje.
\end{remark}

\begin{examplen}
Bu� $A=\{a\}$, $G=\{1\}$.  Pak lze definovat jedin� zobrazen� $\star:
A \times V\to A$, kter� je akc� $G$ na $A$.
Obecn�ji, je-li $A$ libovoln�
nepr�zdn� mno�ina, m� na n� trivi�ln� grupa $G=\{1\}$ jedinou akci. 
Podobn�, je-li $G$ libovoln� grupa, m�
jedinou akci na mno�in� $A=\{a\}$.  V�echny tyto p��pady lze zobecnit
n�sledovn�: Je-li $A$ libovoln� nepr�zdn� mno�ina a $G$ libovoln� grupa,
lze definovat akci $\star: A \times G\to A$ p�edpisem $a\star g=a$ pro
ka�d� $a\in A$ a ka�d� $g\in G$.  T�to akci
budeme ��kat \df{trivi�ln� akce}.  Pov�imn�te si, �e trivi�ln� akce je
pravou i levou akc� z�rove�, a�koli grupa $G$ nemus� b�t komutativn�.
\begin{examplen}
Bu� $G$ grupa.  Pak zobrazen� $\star: G\times G\to G$ zadan� 
$g\star h=g\cdot h$ je akce $G$ na $A=G$.  Pokud je $G$
komutativn� grupa, je $\star$ i lev� akce.\label{grupasobe}
\end{examplen}
\end{examplen}
\begin{examplen}\label{skalary}
Bu� $V$ vektorov� prostor nad polem $(\kk,+,\cdot)$.  Pak grupa
$(\kk-\{0\},\cdot)$ m� akci na $V$ zadanou n�soben�m vektoru
$v\in V$ skal�rem $a\in \kk-\{0\}$.
\end{examplen}
\begin{examplen} \label{permutace} 
Bu� $A=\{1,2,3\}$ t��prvkov� mno�ina a $S_3$ grupa
permutac� mno�iny $A$, tedy
$$S_3=\{\pi:A\to A; \pi \text{ je surjekce\/}\}.$$  
Definujme zobrazen� $\star: A \times S_3\to A$
n�sledovn�: pro ka�d� $a\in A$ a ka�d� $\pi\in S_3$ nech� $a\star 
\pi=\pi^{-1}(a)$.  P�esv�d�te se, �e $\star$ je akce $S_3$ na $A$.
P�i definici $a\star \pi=\pi(a)$ nedostaneme
akci, ale levou akci.
\end{examplen}

Pov�imn�te si, �e p�edchoz� p��klad n�m d�v� odli�n� pohled na akce
grup:  Nech� $(G,\cdot)$ je grupa a $A$ nepr�zdn� mno�ina.  Nech� je
d�n grupov� homomorfismus $\phi:G\to \ss(A)$ grupy $G$ do grupy
permutac� mno�iny $A$.  Pak lze definovat zobrazen� $\star_\phi: A \times G\to A$
p�edpisem $a\star_\phi g=\phi(g)(a)$, kde symbol vpravo ozna�uje hodnotu
permutace $\phi(g)$ na prvku $a\in A$. 

Proto�e $\phi$ je homomorfismus grup, plat� pro ka�d� $a\in A$ a ka�d�
$g,h\in G$ 
\begin{eqnarray*}
(a\star_\phi g)\star_\phi h&=&\phi(h)\big(a\star_\phi g\big)=
\big(\phi(h)\circ\phi(g)\big)(a)
=\phi(h\cdot g)(a)\\&=&a\star_\phi (h\cdot g)\\
(a\star_\phi 1)&=&\phi(1)(a)=\id (a)=a
\end{eqnarray*}
Pov�imn�te si, �e takto definovan� $\star_\phi$ nen� akc�, ale levou
akc�.  Abychom vyhov�li definici akce, definujme
$\star_\phi$ odli�n�: nech� $a\star_\phi \pi=\pi^{-1}(a)$.  Pak je podobn� jako
v p��kladu v��e $\star_\phi$ akc�.

Pov�imn�te si naopak, �e ka�d� akce $\star:A \times G\to A$ pro libovolnou
nepr�zdnou mno�inu $A$ a libovolnou grupu $G$ zad�v� grupov�
homomorfismus
$\phi_\star: G\to \ss(A)$ zadan� pro ka�d� $g\in G$ p�edpisem
$\phi_\star(g)(a)=a\star g^{-1}$ pro ka�d� $a\in A$.  

\begin{exerc} 
Doka�te, �e $\phi_\star$ je homomorfismus.
\end{exerc} 

\begin{exerc}
Doka�te, �e pro ka�d� $A\neq \emptyset$, ka�dou grupu $G$, ka�dou akci
$\star:A\times G\to A$ a ka�d� homomorfismus $\phi:G\to\ss(A)$ plat�
$\star_{\phi_\star}=\star$ a $\phi_{\star_\phi}=\phi$.  Tato dv�
tvrzen� znamenaj�, �e akce $G$ na $A$ a p��slu�n� homomorfismus $G\to
\ss(A)$ se navz�jem jednozna�n� ur�uj�.
\end{exerc}

\begin{exerc}
Ilustrujme tyto �vahy na p�edchoz�m p��kladu: akce $\star:\{1,2,3\}
\times S_3\to \{1,2,3\}$ ur�uje
homomorfismus $\phi_\star:S_3\to \ss(\{1,2,3\})\simeq S_3$.  Popi�te tento
homomorfismus a pov�imn�te si, �e 
pro levou akci $a\ast\pi=\pi(a)$ je $\theta_\ast$ 
identita a �e naopak identita ur�uje akci $\ast$.
\end{exerc}

\begin{exerc} Probl�m "opa�n�ho komutov�n�" a nutnosti p�ej�t od
(prav�ch) akc� k lev�m akc�m lze vy�e�it zaveden�m
pojmu \df{antihomomorfismus}.  Pokuste se tento pojem p�esn� definovat a
p�eformulujte s jeho vyu�it�m p�edchoz� �vahy pro (prav�) akce.  
Uv�domte si, �e
antihomomorfismy komutativn�ch grup spl�vaj� s homomorfismy.
Nech� $\phi: G\to H$ je homomorfismem i antihomomorfismem grup.
Rozhodn�te, zda z toho plyne komutativita $G$ nebo $H$ a sv�
rozhodnut� zd�vodn�te.
\end{exerc}


\medskip
Bu� $G$ libovoln� grupa a $A$ libovoln� nepr�zdn� mno�ina, $\star:A
\times G\to A$ libovoln� akce.  Potom z��en� $\star$ na libovolnou
podgrupu $H\subseteq G$ zad�v� akci $\star|H:A \times H\to A$.
Specieln� pro podgrupu $\{1\}\subseteq G$ jde o trivi�ln� akci.

\begin{examplen}\label{a3 na z3}
Uva�me $A_3\subseteq S_3$ a akci $\star|A_3:\{1,2,3\}\times A_3\to
\{1,2,3\}$.  Proto�e $A_3\simeq\zz_3$ a t��prvkov� mno�ina je se
$\zz_3$ v bijekci, m��eme akci $\star|A_3$ ch�pat jako akci $\overline
\star:\zz_3\times\zz_3\to\zz_3$ zadanou s��t�n�m v $\zz_3$.
\end{examplen}

\bigskip
Nech� $A=\{1,2,3\}$ a $G=S_3$.  Definujme dv� akce $S_3$ na $A$: 
nech� $a\star\pi=\pi^{-1}(a)$ a $a\overline\star\pi=a$.  Tyto dv� akce
p�edstavuj� ur�it� protip�ly --- zat�mco $\star$ je a� p��li� bohat�
akce, trivi�ln� akce $\overline \star$ je p��li� omezen�.  Tato v�gn�
vyj�d�en� z�skaj� rozumn� smysl po zformulov�n� n�sleduj�c�

\begin{defin} Bu� $A$ nepr�zdn� mno�ina a $(G,\cdot)$ grupa.
�ekneme, �e akce $\star: A \times G\to A$ grupy $G$ na mno�in� $A$ je
\df{bez pevn�ch bod�}, pokud pro ka�d� $a\in A$ a ka�d� $g\in G$ plat� 
\begin{equation}a\star g=a\implies g=1.\label{nepevne}\end{equation}
Pokud existuje $a\in A$, pro kter� tato podm�nka nen� spln�na, nazveme
ho \df{pevn�m bodem akce $\star$}.

�ekneme, �e akce $\star$ je \df{tranzitivn�}, pokud pro ka�d� $a,b\in
A$ existuje $g\in G$ takov�, �e 
\begin{equation}a\star g=b.\label{tranzitivni}\end{equation}
\end{defin}

\begin{examplen} \label{kdy je triv tranz a pev}
Trivi�ln� akce je bez pevn�ch bod� pr�v� tehdy, kdy� $G$ je trivi�ln�,
naopak trivi�ln� akce libovoln� grupy je tranzitivn� pr�v� tehdy, kdy� $A$ je
jednoprvkov� mno�ina.

To znamen�, �e podm�nka~\ref{nepevne} ��k�, �e akce grupy $G$ nen�
vzhledem k mno�in� $A$ "moc velk�", naopak podm�nka~\ref{tranzitivni}
znamen�, �e akce grupy je dostate�n� na to, aby se ka�d� prvek mno�iny
$A$ pomoc� akc� prvk� grupy $G$ p�esunul na libovoln� jin� prvek
mno�iny $A$.
Specieln� si uv�domte, co to znamen� pro akci z p��kladu~\ref{grupasobe}.
\end{examplen}
\begin{examplen}
Vyu�ijme k popisu akce $\star:A \times G\to A$ antihomomorfismus
$\phi_\star: G\to \ss(A)$.  Srovnejte podm�nku~\ref{nepevne} a
injektivitu $\phi_\star$, tj. podm�nku
$$\forall g,h\in G: \phi_\star(g)=\phi_\star(h)\implies g=h.$$  Tu lze
p�eformulovat do ekvivalentn�ho tvaru
$$\forall g,h\in G\big(\forall a\in A(a\star g=a\star h)\implies g=h\big)$$
Tato podm�nka je slab�� ne�~\ref{nepevne}!  Najd�te vhodn� p��klad
akce s pevn�m bodem, jej�� p��slu�n� antihomomorfismus je injektivn�.
 (Takov� p��klad lze nal�zt i v p�ede�l�m textu.)
\end{examplen}
\begin{examplen}
Doka�te, �e pro tranzitivn� akci bez pevn�ch bod� $\star:A \times G\to A$ 
je spln�na siln�j��
vlastnost ne�~\ref{tranzitivni} --- pro ka�d� $a,b\in A$ existuje
pr�ve jedno $g\in G$ takov�, �e $a\star g=b$.
\end{examplen}
\begin{examplen}
Akce $\star:\{1,2,3\} \times S_3\to\{1,2,3\}$ z p��kladu~\ref{permutace} je tranzitivn�, ale v�echny body mno�iny $\{1,2,3\}$ jsou
pevn�, nebo� ka�d� bod se zobraz� na sebe p�i transpozici ostatn�ch
dvou bod�.
\end{examplen}
\begin{examplen}
Akce z p��kladu~\ref{skalary} m� pr�v� jeden pevn� bod, $0\in V$.
Uv�domte si, �e nulov�
vektor spl�uje siln�j�� podm�nku, ne� je podm�nka z definice pevn�ho
bodu --- zat�mco v p�edchoz�m p��kladu se ka�d� bod $A$ p�i n�kter�
permutaci "pohnul", nulov� vektor z�st�v� na m�st� p�i n�soben�
libovoln�m skal�rem.

Z tohoto d�vodu tato akce nen� tranzitivn�, nebo� z nulov�ho vektoru se 
na ��dn� jin� vektor nedostaneme n�soben�m jak�mkoli skal�rem.  
Kdybychom nulov� vektor z $V$ vynechali, st�le je�t� nemus�me dostat
tranzitivn� akci --- p�esn�ji, tranzitivn� akci dostaneme pr�v� tehdy,
je-li $\dim V=1$.
\end{examplen}

\section{Afinn� prostor}
\begin{defin}  Nech� $A$ je nepr�zdn� mno�ina a $V$ vektorov� prostor
nad polem skal�r� $\kk$.  �ekneme, �e trojice $(A,V,\star)$ je
\df{afinn� prostor}, jestli�e $\star:A \times V\to A$ je tranzitivn� 
akce $V$ na $A$ bez pevn�ch bod�.  Prvky mno�iny $A$ naz�v�me
\df{body} afinn�ho prostoru a mno�inu $A$ naz�v�me \df{mno�inou bod�}, 
vektorov� prostor $V$ naz�v�me \df{zam��en�} afinn�ho prostoru.  Pokud
je z kontextu z�ejm� zam��en� a jeho akce na mno�in� bod� $A$, stru�n�
mluv�me o afinn�m prostoru $A$.
\end{defin}
\begin{examplen}
Trojice $(\{a\},\{1\},\star)$ je afinn� prostor.  Vzhledem k p��kladu~\ref{kdy je triv tranz a pev} v�me, �e je to jedin� afinn� prostor s trivi�ln� akc� $\star$.
\end{examplen}
\begin{examplen}\label{vektorsobe}
Bu� $V$ vektorov� prostor.  Pak $(V,V,+)$, kde $+$ je s��t�n� vektor�
ve $V$, je afinn� prostor.  Tento p��klad je speci�ln�m p��padem z
p��kladu~\ref{grupasobe}.
\end{examplen}
\begin{examplen}
Mno�ina $P$ z motiva�n�ho p��kladu s akc� $\ker f$ danou s��t�n�m
vektor� tvo�� afinn� prostor ---  $\ker f$ je vektorov� prostor a 
vlastnosti~\ref{jako akce1}--\ref{jako tranzitivni} popisuj� tranzitivn� akci
$\ker f$ bez pevn�ch bod� na mno�in� $P$.
\end{examplen}
\begin{examplen}\label{reseni soustavy}
Nech� $M$ je matice typu $m \times n$, $x\in \rr^n$, $b\in\rr^m$.
Ozna�me $$A=\{x\in\rr^n; Mx=b\}$$ mno�inu �e�en� soustavy line�rn�ch
rovnic s roz���enou matic� soustavy $(M|b)$, d�le ozna�me 
$$V=\{x\in\rr^n;Mx=0\}$$ mno�inu �e�en� homogenizovan� soustavy.
Potom $(A,V,+)$, kde $+:A \times V\to A$ je s��t�n� vektor� v $\rr^n$,
je afinn� prostor.

Skute�n�, mno�ina $V\subseteq \rr^n$ je vektorov� podprostor, nebo� je
�e�en�m homogenn� soustavy line�rn�ch rovnic.  D�le pro ka�d� $a\in A$
a ka�d� $v\in V$ je $a+v\in A$, tedy $+$ je skute�n� zobrazen�
$+:A\times V\to A$.  Z vlastnost� s��t�n� vektor� v $\rr^n$ plyne, �e
je to akce $V$ na $A$ a �e je tak� bez pevn�ch bod� a tranzitivn�.
\end{examplen}
\begin{examplen}\label{jadro zobrazeni}
Bu� $f:U\to V$ line�rn� zobrazen�, $v\in\im f$ libovoln� vektor.  Pak
$$f^{-1}(v)=\{u\in U; f(u)=v\}$$
je mno�inou bod� afinn�ho prostoru $(f^{-1}(v),\ker f,+)$.  Skute�n�,
pro ka�d� $u\in f^{-1}(v)$ a ka�d� $w\in\ker f$ plat� $u+w\in f^{-1}(v)$, nebo�
$f(u+w)=f(u)+f(w)=v+0=v$.  Podobn� jako v p�edchoz�m p��kladu lze
snadno uk�zat, �e s��t�n� vektor� definuje akci $\ker f$ na $f^{-1}$,
kter� je tranzitivn� a bez pevn�ch bod�.

P�edchoz� p��klad je speci�ln�m p��padem, p�i�em� $U=\rr^n$,
$V=\rr^m$ a zobrazen� $f:U\to V$ je zad�no p�edpisem $f(x)=Mx$.  Pak z�ejm�
mno�ina $A$ z p�edchoz�ho p��padu p�edstavuje vzor $b\in\rr^m$ a
mno�ina $V$ je j�drem $f$.

Nech� naopak $f:U\to V$ je libovoln� line�rn� zobrazen� mezi prostory
kone�n� dimenze.  Zvolme
libovoln� b�ze
$\alpha$ v $U$ a $\beta$ ve $V$.  Pak pro $v\in\im f$ je mno�ina 
$$f^{-1}(v)=\{u\in U; (f)_{\beta\alpha}(u)_\alpha=(v)_\beta\}$$
neboli vzor $v$ odpov�d� bod�m z $U$, jejich� sou�adnice v b�zi $\alpha$ 
jsou �e�en�m nehomogenn� soustavy line�rn�ch rovnic
s roz���enou matic� soustavy $\big((f)_{\beta\alpha}|(v)_\beta\big)$ a
podobn� $\ker f$ je zad�no homogenizovanou soustavou s matic� soustavy
$\big((f)_{\beta\alpha}\big)$.

Tedy tento a p�echoz� p��klad popisuj� stejn� typ afinn�ch prostor�.
\end{examplen}
\begin{examplen} Trojice
$(\{1,2,3\},S_3,\star)$, kde $\star$ je akce definovan� v pr�kladu
\ref{permutace}, nen� afinn� prostor, nebo� $\star$ m� jako pevn� body
v�echny body $\{1,2,3\}$. Z p��kladu \ref{a3 na z3} ale v�me, �e
z��en� $\star$ na $A_3\subseteq S_3$ je akc� bez pevn�ch bod�.
Proto�e $A_3\simeq\zz_3$ a $\zz_3$ je vektorov� prostor nad sebou
sam�m, je $(\{1,2,3\},A_3,\star|A_3)$ afinn� prostor.  \label{z3 afinni}

Tut� �vahu nelze prov�st pro
obdobnou akci $S_4$ na �ty�prvkov� mno�in�, proto�e $\zz_4$ nen� pole.
(Nav�c $A_4\not\simeq\zz_4$, ale to nevad�, proto�e $\zz_4$ je
isomorfn� podgrup� $S_4$ generovan� posunut�m.)
\end{examplen}

\begin{examplen}\label{proc dimenze}
Nech� $p=\{[a,b]\in\rr^2;b=ka+l\}$ je p��mka v rovin�, $k,l\in\rr$
libovoln�.  Na $p$
definujme zobrazen� $\star:p \times \rr^2\to p$ p�edpisem
$[a,b]\star(x,y)=[a+x,b+y]$.  P�esv�d�te se, �e jde o tranzitivn�
akci.  Trojice $(p,\rr^2,\star)$ ale nen� afinn� prostor.  Nalezn�te
v�echny pevn� body akce $\star$.

Podobn� nech� $A=\rr^2$ a $V=\{(x,y)\in\rr^2;y=kx\}$, definujme
zobrazen� $\star:A \times V\to A$ p�edpisem
$[a,b]\star(x,y)=[a+x,b+y]$.  P�esv�d�te se, �e jde o akci bez pevn�ch
bod�, kter� ale nen� tranzitivn�.
\end{examplen}

P�edchoz� p��klad ukazuje smysl n�sleduj�c� 
\begin{defin} \df{Dimenz� afinn�ho prostoru $(A,V,\star)$} nazveme
dimenzi zam��en� $V$.
\end{defin}

\begin{remark} Pov�imn�te si, jak se v p��kladu~\ref{proc dimenze}
projevil princip popsan� v p��kladu~\ref{kdy je triv tranz a pev} ---
tranzitivita akce vy�aduje "dost velkou" dimenzi $V$, absence pevn�ch
bod� zase znemo��uje, aby dimenze $V$ byla "p��li� velk�".
\end{remark}

\begin{examplen} Bu� $A$ �ty�prvkov� mno�ina.  Vzhledem k p��kladu 
\ref{z3 afinni} v�me, �e akce $\zz_4$ 
na $A$ nen� afinn� prostor.  To ale neznamen�, �e na �ty�prvkov� mno�in� nelze
definovat strukturu afinn�ho prostoru.
Uv�domte si, �e $A$ je v bijekci se $(\zz_2)^2$, tedy s dvourozm�rn�m vektorov�m prostorem 
nad polem $\zz_2$, a m��eme definovat akci $(\zz_2)^2$ na $A$ 
jako s��t�n� v $(\zz_2)^2$.  Dimenze tohoto afinn�ho prostoru je 2.  
Na $A$ lze ale zav�st tak� jinou afinn� strukturu, ov�em s vyu�it�m
teorie kone�n�ch pol�.  Lze uk�zat, �e existuje �ty�prvkov� pole
$\mathbb{L}$, to
je pak vektorov�m prostorem dimenze 1 nad sebou sam�m, tak�e lze
definovat afinn� strukturu $(\mathbb{L},\mathbb{L},+)$.  P�itom
$\mathbb{L}=\{0, 1, \ell,\ell+1\}$, kde $1+1=0$, $\ell+\ell=0$ a $\ell\cdot
\ell=\ell+1$.

Pokuste se naj�t afinn� strukturu �estiprvkov� mno�iny.
(Pozd�ji uk�eme, na jak�ch kone�n�ch mno�in�ch lze 
definovat strukturu afinn�ho prostoru.)
  
Bez znalosti o kone�n�ch pol�ch a pouze s vyu�it�m element�rn� teorie
mno�in lze uk�zat existenci r�zn�ch afinn�ch struktur nekone�n�ch mno�in.  
Nech� $A$ je pro jednoduchost spo�etn�, pak $A$ je v bijekci s $A\times A$ a z�rove� $A$ 
je v bijekci s
$\qq$, tedy lze definovat akci $\star$ vektorov�ho prostoru $\qq$ na $A$.  Ta 
ale zad�v� akci $\qq^2$ na $A\times A$ po slo�k�ch.  Prost�ednictv� bijekce 
mezi $A$ a $A\times A$ je t�m ale zad�na akce $\qq^2$ na $A$.

Podobn� �vahy lze prov�st i pro nespo�etn� mno�iny.
\end{examplen}
\begin{exerc} Vyzkou�ejte si zaveden� struktury jedno- a
dvourozm�rn�ho afinn�ho prostoru na mno�in� cel�ch ��sel s vyu�it�m
klasick� diagon�ln� bijekce $\zz$ a $\qq$.
\end{exerc}
\begin{defin} Nech� $(A,V,\star)$ je afinn� prostor, nech�
$\emptyset\neq B\subseteq A$, $W\subseteq V$ je vektorov� podprostor a
z��en� akce $\star$ na podprostor $W$ je tranzitivn� akc� $W$ na $B$ 
bez pevn�ch
bod�.  Pak  trojici $(B,W,\star|W)$ nazveme \df{afinn�m podprostorem}
prostoru $(A,V,\star)$.
\end{defin}
\begin{examplen} Nech� $(A,V,\star)$ je afinn� prostor a $a\in A$
libovoln� bod.  Pak $(a,\{0\},\star|\{0\})$ je nularozm�rn� afinn�
podprostor.
\end{examplen}
\begin{exerc}Doka�te, �e nepr�zdn� pr�nik afinn�ch podprostor� je
afinn� podprostor.
\end{exerc}

Vzhledem k p��kladu~\ref{vektorsobe} lze uva�ovat afinn� podprostory
vektorov�ho prostoru, p�esn�ji �e�eno afinn� podprostory afinn�ho
prostoru $(V,V,+)$.  V�me, �e ka�d� vektorov� podprostor, tj. ka�d�
mo�n� zam��en� afinn�ho prostoru, lze ch�pat jako �e�en� vhodn�
homogenn�
soustavy line�rn�ch rovnic a nebo ekvivalentn� jako j�dro vhodn�ho
line�rn�ho zobrazen�.  Vzhledem k p��klad�m~\ref{reseni soustavy} a
\ref{jadro zobrazeni} v�me, �e 
�e�en� nehomogenn�ch soustav
line�rn�ch rovnic, nebo ekvivalentn� vzory prvk� r�zn�ch od nuly z
obrazu vhodn�ch line�rn�ch zobrazen�, jsou afinn� podprostory 
vektorov�ho prostoru.  Ne� v p���t� kapitole 
prozkoum�me, zda existuj� tak� jin� afinn�
podprostory vektorov�ho prostoru, pop��eme geometrii vz�jemn�ch poloh
afinn�ch podprostor� v $(V,V,+)$.

\begin{defin} Nech� $(V,V,+)$ je afinn� prostor a $(A,W,+)$, $(B,U,+)$
jeho afinn� podprostory, tj. $A,B\subseteq V$ a $W,U\subseteq V$
vektorov� podprostory.  Pak �ekneme, �e $(A,W,+)$ a $(B,U,+)$ jsou
\begin{enumerate}
\item \df{rovnob�n�}, pokud $W\subseteq U$ nebo $U\subseteq W$,
\item \df{mimob�n�}, pokud nejsou rovnob�n� a $A\cap B=\emptyset$,
\item \df{r�znob�n�}, pokud nejsou rovnob�n� ani mimob�n�.
\end{enumerate}
Takto tedy ch�peme situaci $A\subseteq B$ jako rovnob�nost.
\end{defin}

\begin{examplen} Nech� $V=\kk^n$, $A=\{x\in V;Mx=a\}$, $B=\{x\in V; Nx=b\}$,
kde matice $M$ a $N$ jsou typu $m\times n$ a $k\times n$,
$a\in\kk^m$, $b\in\kk^k$.  Ozna�me
$W=\{x\in V;Mx=0\}$ a $U=\{x\in V; Nx=0\}$.
Afinn� podprostory $(A,W,+)$ a $(B,W,+)$ ve $(V,V,+)$ jsou 
r�znob�n�, pokud soustava line�rn�ch rovnic s roz���enou matic�
$$\left(\begin{array}{c|c}M&a\\N&b\end{array}\right)$$ m� �e�en�.
Pokud �e�en� nem�, ale p��slu�n� homogenizovan� soustava m� stejnou
mno�inu �e�en� jako n�kter� ze soustav $Mx=0$ nebo $Nx=0$, jsou
$(A,W,+)$ a $(B,U,+)$ rovnob�n�.  V ostatn�ch p��padech jsou
mimob�n�.
\end{examplen}

\begin{defin} Afinn� podprostor prostoru $(V,V,+)$ dimenze $\dim V-1$
nazveme \df{nadrovina ve $V$}.
\end{defin}

\begin{exerc} Doka�te, �e ka�d� afinn� podprostor $(V,V,+)$ tvaru
$(A,W,+)$, kde $A=\{x\in V;Mx=a\}$, $W=\{x\in V;Mx=0\}$ je
pr�nikem kone�n� mnoha nadrovin.
\end{exerc}

Na z�v�r t�to ��sti uvedeme ekvivalentn� definici
afinn�ho prostoru, kter� bude v dal��m textu u�ite�n�.
\begin{prop} Nech� $A$ je nepr�zdn� mno�ina, $V$ vektorov� prostor a 
$\vct{\rule{0pt}{1.2ex}}:A\times A\to V$ je zobrazen�, kter� zapisujeme 
$\vct{ab}=\vct{\rule{0pt}{1.2ex}}(a,b)$, s t�mito dv�ma vlastnostmi:
\begin{enumerate}
\item[(i)] Pro ka�d� $a\in A$ a $v\in V$ existuje pr�v� jedno
$b\in A$ tak, �e $\vct{ab}=v$.  P��eme $b=a+v$, p��padn� $v=b-a$.
\item[(ii)] Pro v�echna $a,b,c\in A$ je 
$\vct{ab}+\vct{bc}=\vct{ac}$.
\end{enumerate}
Pak $(A,V,\star)$, kde $a\star v$ definujeme jako pr�v� to $b\in A$, pro 
kter� plat� $\vct{ab}=v$, je afinn� prostor, a naopak, pro ka�d� afinn� prostor 
$(A,V,\star)$ lze
definovat zobrazen�  $\vct{\rule{0pt}{1.2ex}}:A\times A\to V$
spl�uj�c� vlastnosti {\rm (i)} a {\rm (ii)}.
\end{prop}
\begin{exerc} Doka�te p�edchoz� tvrzen�.
\end{exerc}

\section{Afinn� zobrazen�}
\begin{remark} V cel� t�to a p���t� kapitole p�edpokl�d�me, �e zam��en�
v�ech afinn�ch prostor� jsou vektorov�mi prostory nad t�m� polem,
pokud nebude �e�eno jinak.
Jedin� tak m� toti� smysl mluvit o line�rn�ch zobrazen�ch mezi nimi.
Kategori�ln� orientovan� �ten�� nech� si uv�dom�, �e vektorov�
prostory nad polem $\kk$ a line�rn� zobrazen� mezi nimi tvo�� pr�v�
kategorii Mod-$\kk$, p�i�em� v�me, �e kategorii
Mod modul� nad libovoln�mi okruhy rozumn� vytvo�it nelze.
\end{remark}

\begin{defin} Nech� $(A,V,\star)$ a $(B,W,\ast)$ jsou afinn� prostory
a $f:A\to B$ zobrazen� takov�, �e existuje line�rn� zobrazen�
$\phi:V\to W$ spl�uj�c� pro ka�d� $a\in A$ a ka�d� $v\in V$
$$f(a\star v)=f(a)\ast\phi(v).$$
Pak zobrazen� $f$ nazveme \df{afinn�m zobrazen�m} prostoru
$(A,V,\star)$ do prostoru $(B,W,\ast)$, p��slu�n� zobrazen� $\phi:V\to
W$ nazveme \df{pod��zen�m line�rn�m zobrazen�m} afinn�ho zobrazen�
$f$.

Nech� specieln� afinn� zobrazen� $f:A\to B$ je bijekce.  Pak �ekneme,
�e $f$ je \df{afinn� isomorfismus} nebo �e prostory $(A,V,\star)$ a
$(B,W,\ast)$ jsou \df{afinn� isomorfn�}.
\end{defin}

\begin{examplen} Konstantn� zobrazen� $(A,V,\star)$ do
$(B,W,\ast)$ je afinn�.  Podobn� vlo�en� afinn�ho podprostoru do
afinn�ho prostoru je afinn� zobrazen�, dokonce lze ekvivalentn�
definovat afinn� podprostor $(C,U,\star|U)$ afinn�ho prostoru
$(A,V,\star)$ tak, �e $C\subseteq A$, existuje vhodn� z��en� $\star$
na $U\subseteq V$ a inkluze $C\hookrightarrow A$ je afinn� zobrazen�.
\end{examplen}

\begin{examplen}
Mezi afinn�mi prostory $(V,V,+)$ a $(W,W,+)$ ka�d� line�rn� 
zobrazen� $\phi:V\to W$ indukuje afinn� zobrazen� $f$ spl�uj�c�
$f(0)=0$.
\end{examplen}

\begin{lemma} Nech� $(A,V,\star)$, $(B,W,\ast)$ a $(C,U,\diamond)$ jsou
afinn� prostory, $f:A\to B$ a $g:B\to C$ afinn� zobrazen� s
pod��zen�mi line�rn�mi zobrazen�mi $\phi:V\to W$ a $\psi:W\to U$.  
Pak $g\circ f:A\to C$ je
afinn� zobrazen� s pod��zen�m line�rn�m zobrazen�m $\psi
\circ\phi:V\to U$.
\end{lemma}
\begin{exerc} Doka�te p�edchoz� tvrzen�.
\end{exerc}

\begin{exerc}
Nech� $(C,U,\star|U)$ je afinn� podprostor v $(A,V,\star)$,
$(B,W,\ast)$ afinn� prostor a $f:A\to B$ afinn� zobrazen� s pod��zen�m
line�rn�m zobrazen�m $\phi:V\to W$.  Doka�te,
�e $\big(f(C),\phi(U),\ast|\phi(U)\big)$ je afinn� podprostor v
$(B,W,\ast)$.  Zformulujte p�esn� obdobn� tvrzen� pro vzor afinn�ho
podprostoru v afinn�m zobrazen� a tak� je doka�te.
\end{exerc}
\begin{exerc} Pro line�rn� zobrazen� $f:V\to W$ plat� $\dim V=\dim\ker
f +\dim\im f$.  Nech� $(A,V,\star)$ a $(B,W,\ast)$ jsou afinn� prostory
a $f:A\to B$ afinn� zobrazen�.  Rozmyslete
si, zda plat� n�jak� analogie tvrzen� o dimenz�ch vektorov�ch
prostor�.  Lze smyslupln� definovat $\ker f$?
\end{exerc}

\begin{exerc} Doka�te, �e pod��zen� line�rn� zobrazen� afinn�ho
isomorfismu je invertibiln�, tj. �e je to line�rn� isomorfismus. 
\end{exerc}

\begin{exerc} Doka�te s vyu�it�m p�ede�l�ho cvi�en�, �e inverzn�
zobrazen� k afinn�mu isomorfismu je afinn� isomorfismus.
\end{exerc}

\begin{cor} Isomorfn� afinn� prostory maj� stejnou
dimenzi.
\end{cor}

Definice afinn�ho isomorfismu umo��uje ��ci, kdy jsou dva afinn�
prostory z hlediska afinn� struktury stejn�.  N�sleduj�c� v�ta
ukazuje, �e mezi afinn�mi prostory lze vybrat vhodn� reprezentanty ve
t��d�ch ekvivalence afinn�ho isomorfismu a ukazuje, �e tyto t��dy jsou
charakterizov�ny dimenz�.

\begin{thm} Nech� $(A,V,\star)$ je libovoln� afinn� prostor.  Pak
existuje afinn� isomorfismus $f:A\to V$ do afinn�ho prostoru
$(V,V,+)$.
\end{thm}
\begin{proof} Zvolme pevn� libovoln� bod $a\in A$.  Pro ka�d�
$b\in A$ polo�me $f(b)=\vct{ab}$ (pov�imn�te si, �e 
zde vyu��v�me ekvivalentn� definici
afinn�ho prostoru).  Dok�eme, �e takto definovan� zobrazen� je
afinn�m isomorfismem.

P�edev��m pod��zen� line�rn� zobrazen� k $f$ je $\id:V\to V$,
nebo� pro ka�d� $b\in A$ a ka�d� vektor zam��en� $v\in V$ plat�
$$f(b\star v)=f\big((a\star\vct{ab})\star v\big)=
f\big(a\star(\vct{ab}+v)\big)=\vct{ab}+v=f(b)+\id(v).$$
Nech� $v\in V$ je libovoln� bod afinn�ho prostoru $(V,V,+)$, pak $f(a+v)=v$ a
tedy $f$ je surjekce.  Nech� pro $b,c\in A$ plat� $f(b)=f(c)$.  Pak
ale $\vct{ab}=\vct{ac}$, podle podm�nky (ii) z ekvivalentn�
definice afinn�ho prostoru je $\vct{ab}+\vct{bc}=\vct{ac}$ a 
tedy $\vct{bc}=0$.  To podle podm�nky (i) zm�n�n� ekvivalentn�
definice znamen� $b=c$.  

Tedy $f$ je tak� injektivn�, ��m� je d�kaz ukon�en.
\end{proof}

\begin{cor} Ka�d� afinn� podprostor ve $(V,V,+)$ je tvaru $f^{-1}(w)$
pro vhodn� line�rn� zobrazen� $f:V\to W$ a $w\in\im f$.
\end{cor} 

\begin{remark} 
Pov�imn�me si, �e afinn�ch isomorfism� konstruovan�ch v
d�kazu p�edchoz� v�ty
je pr�v� tolik, jako bod� afinn�ho prostoru $(A,V,\star)$.  Promyslete
si, �e jejich inverzn� zobrazen� odpov�daj� posunut� nuly vektorov�ho
prostoru $V$ do p��slu�n�ho pevn� zvolen�ho bodu $(A,V,\star)$.
Afinn�ch isomorfism� je ov�em podstatn� v�ce, nebo� pod��zen�m
line�rn�m zobrazen�m posunut� je v�dy identita. 
\end{remark}


\begin{exerc} Doka�te, �e 
posta�uj�c�
podm�nkou pro to, aby afinn� zobrazen� bylo afinn�m isomorfismem, je
to, �e pod��zen� line�rn� zobrazen� je line�rn� isomorfismus.
(Pov�imn�te si, �e v
jednom z p�ede�l�ch cvi�en� u� bylo dok�z�no, �e jde o podm�nku
nutnou.)
\end{exerc}
\begin{cor}Afinn� prostory stejn� dimenze jsou isomorfn�.
\end{cor}

Pro kone�n� mno�iny a kone�n� afinn� prostory plyne z v�ty n�sleduj�c�
d�le�it� 
\begin{cor} Na kone�n� mno�in� lze definovat afinn� strukturu
pr�v� tehdy, pokud je po�et jej�ch prvk� tvaru $p^n$, kde $p$ je
prvo��slo a $n\in\nn$.
\end{cor}
\begin{proof} V�me, �e ka�d� vektorov� prostor $V$ nad polem $\kk$ 
je isomorfn� vektorov�mu prostoru $\kk^{\dim V}$.  Kone�n� pole jsou
v�ak pr�v� tvaru $\zz_p[\alpha]$ o $p^m$ prvc�ch, tedy po�et prvk�
vektorov�ho prostoru mus� b�t $p^n$ pro $n=m\cdot\dim V$.  
\end{proof}

\section{Afinn� b�ze.  Afinn� grupa.}

\begin{defin} Nech� $(A,V,\star)$ je afinn� prostor dimenze $n$,
$(v_1,\dots,v_n)$ b�ze $V$ a $a\in A$ libovoln� bod.  Pak $(n+1)$-tici
$(a,v_1,\dots,v_n)$ nazveme \df{afinn� baz�} (p��padn� \df{afinn�m
rep�rem}) prostoru $(A,V,\star)$.  Bod $a$ n�kdy naz�v�me \df{po��te�n�m
bodem} afinn� b�ze.
\end{defin}

\begin{lemma}Nech� $(a,v_1,\dots,v_n)$ je afinn� baz� $(A,V,\star)$.
Pak pro ka�d� bod $b\in A$ existuje pr�v� jedna $n$-tice skal�r�
$(c_1,\dots,c_n)$ tak,
�e $$b=a\star(c_1v_1+\dots c_nv_n).$$
\end{lemma}
\begin{proof} Plyne z jednozna�nosti vektoru $\vct{ab}$ a
jednozna�nosti sou�adnic $\vct{ab}$ vzhledem k b�zi $(v_1,\dots,v_n)$.
\end{proof}
\begin{defin} Nech� $(A,V,\star)$ je afinn� prostor dimenze $n$.
\df{Afinn�mi
sou�adnicemi} bodu $b\in A$ vzhledem k afinn� b�zi $(a,v_1,\dots,v_n)$ 
rozum�me sloupcov� vektor
$(1,c_1,\dots,c_n)^\top$, kde $(c_1,\dots,c_n)$ p�edstavuje
jednozna�n� danou $n$-tici skal�r� z p�edchoz�ho lemmatu.
\end{defin}

P�esto�e n�sleduj�c� v�klad je mo�n� v�st pro obecn� afinn� prostor,
budeme se v�novat tak�ka v�hradn� prostor�m tvaru $(V,V,+)$.  �ten���m
doporu�ujeme, aby se pokusili p�eformulovat ta tvrzen�, u kter�ch to
m� smysl, do obecn�j�� podoby.

\begin{examplen} 
Nech� v afinn�m prostoru $(V,V,+)$ je zvolena
libovoln� b�ze $(a,v_1,\dots,v_n)$ a bod $b\in V$ m� sou�adnice
$(1,c_1,\dots,c_n)^\top$.  Pak z�ejm� plat� 
$$b=\begin{pmatrix}
a&v_1&v_2&\dots&v_n
\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}
1\\c_1\\c_2\\\vdots\\c_n
\end{pmatrix},$$
kde ��dkov� vektor afinn� b�ze ch�peme jako matici $1\times (n+1)$ a
sloupcov� vektor sou�adnic jako matici $(n+1) \times 1$.

Nech� d�le $(W,W,+)$ je dal�� afinn� prostor s baz� $(b,w_1,\dots,
w_k)$ a $f:V\to W$ afinn� zobrazen�.  Pak pod��zen� line�rn� zobrazen�
$\phi$ m� matici $(\phi)_{\beta\alpha}$, kde $\alpha=(v_1, \dots,v_n)$
je b�ze zam��en� $(V,V,+)$ a $\beta=(w_1,\dots,w_k)$ je b�ze zam��en�
$(W,W,+)$.  P�itom plat�, �e sou�adnice bodu $f(b)\in W$ tvo��
sloupcov� vektor 
$$\left(\begin{array}{c|c}
1&0\\\hline f(0)&(\phi)_{\beta\alpha}
\end{array}\right)
\cdot \begin{pmatrix}
1\\c_1\\\vdots\\c_n
\end{pmatrix},$$
kde $(1,c_1,\dots,c_n)^\top$ jsou sou�adnice $b\in V$ vzhledem k
afinn� b�zi $(a,v_1,\dots,v_n)$.
\end{examplen}

\begin{examplen}\label{afinni grupa}
Nech� $V$ je vektorov� prostor nad polem $\kk$
dimenze $n$.  S vyu�it�m p�edchoz�ho p��kladu pop��eme
v�echny afinn� automorfismy afinn�ho
prostoru $(V,V,+)$ se zvolenou baz�. V p��pad� automorfismu je matice
pod��zen�ho line�rn�ho zobrazen� �tvercov� a nav�c regul�rn�, tedy
v�echny afinn� automorfismy jsou tvaru
$$\left\{\left(\begin{array}{c|c}
1&0\\\hline r& A
\end{array}\right); r\in \kk^n, A\in GL(n,\kk)\right\}.$$
Ozna�me tuto mno�inu $A(n,\kk)$.  
Je z�ejm�, �e $A(n,\kk)$ obsahuje jednotkovou matici $(n+1) \times (n+1)$.  
D�le
$$\left(\begin{array}{c|c}
1&0\\\hline r&A
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c|c}
1&0\\\hline s&B
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c|c}
1&0\\\hline r+As&AB
\end{array}\right),$$
tedy $A(n,\kk)$ je uzav�ena na sou�in.  Kone�n� 
$$\left(\begin{array}{c|c}
1&0\\\hline -A^{-1}r&A^{-1}
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c|c}
1&0\\\hline r&A
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c|c}
1&0\\\hline -A^{-1}r+A^{-1}r&A^{-1}A
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c|c}
1&0\\\hline 0&E
\end{array}\right)$$
a tedy 
$$\left(\begin{array}{c|c}
1&0\\\hline -A^{-1}r&A^{-1}
\end{array}\right)^{-1}=
\left(\begin{array}{c|c}
1&0\\\hline r&A
\end{array}\right).$$
\end{examplen}
\begin{defin} Mno�ina $A(n,\kk)$ s operac� n�soben� matic se naz�v� \df{afinn� grupa}.
\end{defin}
\begin{exerc}Afinn� grupa $A(n,\kk)$ je podgrupou $GL(n+1,\kk)$.
Rozhodn�te, zda jde o norm�ln� podgrupu, v p��pad�, �e ano, spo�t�te
faktorovou grupu $GL(n+1,\kk)/A(n,\kk)$.
\end{exerc}
\begin{examplen}\label{afinni grupa na bazich}
Bu� $V$ vektorov� prostor dimenze $n$ nad polem
$\kk$.  Pak afinn� grupa $A(n,\kk)$ operuje na mno�in� afinn�ch 
baz� prostoru $(V,V,+)$ v tomto smyslu: Akce 
$$\left(\begin{array}{c|c}
1&0\\\hline r&A
\end{array}\right)\in A(n,\kk)$$
na 
$(a,v_1,\dots,v_n)$ je d�na n�soben�m zprava, tedy
$$\begin{pmatrix}
a&v_1&\dots&v_n 
\end{pmatrix}\left(\begin{array}{c|c}
1&0\\\hline r&A
\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c|c}
1&0\\\hline
a+r_1v_1+\dots +r_nv_n& (v_1,\dots,v_n)\cdot A
\end{array}\right)$$
Operace $A(n,\kk)$ na mno�in� afinn�ch baz� $(V,V,+)$ m� n�sleduj�c� smysl:
nech� $B\in A(n,\kk)$ je libovoln� a $(a,v_1,\dots,v_n)$ je libovoln�
afinn� b�ze, nech� $v\in V$ je libovoln� bod se sou�adnicemi  $(1,c_1,\dots,c_n)^\top$
vzhledem
k b�zi $(a,v_1,\dots,v_n)$.  Pak plat�,
�e $$B^{-1}\cdot (1,c_1,\dots,c_n)^\top$$
jsou sou�adnice $v$ vzhledem k b�zi $(a,v_1,\dots,v_n)\cdot B$, tedy v b�zi zm�n�n�m
akc� $B\in A(n,\kk)$.  Skute�n�,
$$v=(a,v_1,\dots,v_n)\cdot \begin{pmatrix}
1\\c_1\\\vdots\\c_n
\end{pmatrix}
=(a,v_1,\dots,v_n)\cdot B\cdot B^{-1}\cdot \begin{pmatrix}
1\\c_1\\\vdots\\c_n
\end{pmatrix}.$$

Pro lep�� pochopen� si uv�domte, jak�m zp�sobem se m�n� sou�adnice ve
vektorov�m prostoru p�i zm�n� b�ze.

Pov�imn�te si tak�, �e b�ze zam��en� $(v_1,\dots,v_n)$ je zm�n�na akc�
matice $A\in GL(n,\kk)$ --- uv�domte si, �e pro $r=0\in\kk^n$ se
nem�n� po��te�n� bod afinn� b�ze a akce $A(n,\kk)$ spl�v� s akc�
$GL(n,\kk)$ na zam��en�.
\end{examplen}
\begin{examplen} Afinn� b�ze umo��uje v�hodn� popis afinn�ho
podprostoru ve $(V,V,+)$.  Nech� $(A,W,+)$
je afinn� podprostor, tedy $A\subseteq V$, $W\subseteq V$ je vektorov�
podprostor.  Nech� $(v_1,\dots,v_k)$ je b�ze $W$ a $a\in A$ libovoln�
bod.  Pak $$A=\{a+t_1v_1+\dots+t_kv_k; t_i\in\kk\}.$$  Tomuto z�pisu
afinn�ho podprostoru ve $(V,V,+)$ ��k�me \df{parametrick� zad�n�}.
Proto�e $$W=\{t_1v_1+\dots+t_kv_k; t_i\in\kk\},$$ je dob�e vid�t, �e
$A$ a $W$ jsou rovnob�n� podprostory ve $(V,V,+)$, kter� spl�vaj�
pr�v� tehdy, pokud $0\in A$.

P�itom v�me, �e ka�d� vektorov� podprostor je �e�en� homogenn�
soustavy rovnic, tedy �e existuje 
matice $M$ typu $(n-k)\times n$ tak, �e $W=\{x\in V;Mx=0\}$.  Pak ale
lze $A$ popsat jako mno�inu $A=\{x\in V; Mx=b\}$, kde $b\in\kk^k$ je
spl�uje  $b=M\cdot a$.  Tomuto z�pisu afinn�ho podprostoru ��k�me
\df{impklicitn� zad�n�}.
\end{examplen}
\begin{exerc} Je snadn� z implicitn�ho zad�n� afinn�ho podprostoru 
vypo��tat jeho parametrick� tvar, ur�en�
afinn� baz�.  Rozmyslete si, zda um�te k parametrick�mu zad�n� naj�t
p��slu�nou nehomogenn� soustavu line�rn�ch rovnic jeho implicitn�ho
zad�n�.
\end{exerc}

\begin{defin} Nech� $V$ je vektorov� prostor a $U$ jeho podprostor.  Pak
\df{faktorov�m prostorem} $V/U$ rozum�me mno�inu $$V/U=\{v+U;v\in V\}/\sim ,$$
kde $v+U\sim w+U$ pr�v� tehdy, kdy� $v-w\in U$, s operacemi 
\begin{align*}(v+U)+(w+U)&=(v+w)+U\\
c\cdot(v+U)&=(c\cdot v)+U
\end{align*}
\end{defin}

\begin{exerc}
Uv�domte si, �e $v+U=\{v+u; u\in U\}$ a �e specieln� $0+U=U$, tedy m��eme
pova�ovat $U$ za prvek $V/U$.
Rozmyslete si smysl jednotliv�ch symbol� $+$ v definici operac� na faktorov�m
prostoru $V/U$ a doka�te, �e $V/U$ je vektorov� prostor.
\end{exerc}

\begin{exerc} Uv�domte si, �e prvky faktorov�ho prostoru $V/U$ jsou afinn�
prostory.  Pov�imn�te si, �e ka�d� z t�chto afinn�ch podprostor� je rovnob�n�
s $U$.  Skute�n�, je-li $U$ ur�eno soustavou
$Mx=0$ a $\dim U=k$, pak pro ka�d� $v\in V$ je mno�ina $v+U$ zad�na n�jakou nehomogenn�
soustavou $Mx=b$ pro vhodn� $b\in\kk^{n-k}$.
\end{exerc}

\bigskip\bigskip

Nyn� m�jme afinn� prostor $(A,V,\star)$ dimenze $n$ a jeho b�zi
$(a,v_1,\dots,v_n)$.  Uv�domte si, �e afinn� b�ze urcuje $(n+1)$-tici bod�
$a$, $a_1=a\star v_1$, \dots,$a_n=a\star v_n$.  To n�m umo�n� jin� zp�sob
popisu afinn�ho prostoru a afinn� grupy.

\begin{defin} Nech� $(A,V,\star)$ je afinn� prostor dimenze $n$.  �ekneme, �e
body $a_1$, \dots, $a_k$ jsou \df{v obecn� poloze}, pokud jsou vektory
$\vct{a_1a_2}$, \dots, $\vct{a_1a_k}$ line�rn� nez�visl�.
\end{defin}

Pov�imn�te si, �e vektorov� prostor generovan� vektory $\vct{a_1a_2}$, \dots,
$\vct{a_1a_k}$ m� dimenzi nejv��e $k-1$ a tuto dimenzi nabyde pr�v� v p��pad�,
�e $a_1$, \dots, $a_k$ jsou body v obecn� poloze.

Plat� tedy

\begin{thm} Nech� $(a,v_1,\dots,v_n)$ je afinn� b�ze afinn�ho prostoru
$(A,V,\star)$.  Pak body $a$, $a\star v_1$, \dots, $a\star v_n$ jsou v obecn�
poloze.  Nech� naopak $b_0,\dots,b_n\in A$ jsou body v obecn� poloze.  Pak
$(b_0,\vct{b_0b_1},\dots,\vct{b_0b_n})$ je afinn� baz� $(A,V,\star)$.
\end{thm}
\begin{exerc}
Doka�te p�edchoz� v�tu.
\end{exerc}

\begin{defin} Vzhledem k p�edchoz� v�t� budeme naz�vat mno�inu $(\dim V)+1$ bod�
afinn�ho prostoru $(A,V,\star)$ v obecn� poloze \df{bodovou baz�} afinn�ho
prostoru $(A,V,\star)$.
\end{defin}

\begin{examplen}
Na ur�en�
p��mky v $\rr^n$ je pot�eba dvou r�zn�ch bod�, p�itom p��mka je jednorozm�rn�m
afinn�m podprostorem, podobn� na rovinu je pot�eba t�� r�zn�ch bod� nele��c�ch
v p��mce atd. 
\label{dimenze dana bodovou bazi}
\end{examplen}

Nyn� m� smysl p�eformulovat pojem sou�adnic tak� vzhledem k bodov� b�zi.  M�jme
afinn� prostor $(A,V,\star)$ dimenze $n$ a jeho bodovou b�zi
$(a_0,a_1,\dots,a_n)$.  Ozna�me $v_1=\vct{a_0a_1}$, \dots, $v_n=\vct{a_0a_n}$.  Pak
$(a_0,v_1,\dots,v_n)$ je podle p�edchoz� v�ty afinn� baz� $(A,V,\star)$.

Uva�me $(n+1)$-tici skal�r�
$(c_0,\dots,c_n)^\top\in\kk^{n+1}$ takovou, �e $\sum_i c_i=1$.

Form�ln�m z�pisem 
\begin{equation}b=c_0\cdot a_0+c_1\cdot a_1+\dots +c_n\cdot a_n\label{afinni
kombinace}
\end{equation}
budeme rozum�t bod
$$b=a_0\star(c_1v_1+\dots c_nv_n).$$
Tento z�pis lze ch�pat n�sledovn�.  Proto�e $c_0=1-c_1-\dots-c_n$, m�me
\begin{align*}
b&=(1-c_1-\dots-c_n)a_0+c_1a_1+\dots +c_na_n\\
&=a_0+c_1(a_1-a_0)+\dots+c_n(a_n-a_0)
\end{align*}
a tato form�ln� line�rn� kombinace znamen� to, �e v afinn� b�zi
$(a_0,v_1,\dots,v_n)$ m� bod $b$ sou�adnice $(1,c_1,\dots,c_n)^\top$.


\begin{defin} Nech� $(a_0,\dots,a_n)$ je bodov� b�ze $(A,V,\star)$.
\df{Bodov�mi sou�adnicemi} bodu $b\in A$ nazveme $(n+1)$-tici skal�r�
$(c_0,c_1,\dots,c_n)$ takovou, �e $\sum_i c_i=1$ a $$b=c_0a_0+\dots+a_nc_n.$$
Form�ln� z�pis (\ref{afinni kombinace}) se n�kdy naz�v� \df{afinn� kombinace}
bod� $a_0$, \dots, $a_n$.
\end{defin}

Poznamenejme, �e v p��pad� $(V,V,+)$ afinn� kombinace p�edstavuj� skute�n�
sou�et vektor�.

\begin{exerc}
Doka�te s vyu�it�m p�edchoz� v�ty a definic afinn� a bodov� b�ze, �e bodov�
sou�adnice jsou ur�eny jednozna�n�.
\end{exerc}

\begin{cor} Ka�d� bod $b$ v $(A,V,\star)$ lze jednozna�n� vyj�d�it jako afinn�
kombinaci bodov� b�ze.
\end{cor}

\begin{examplen}
M�jme trojici bod� $a=(0,0,1)$, $b=(0,1,0)$, $c=(1,0,0)$ v $\rr^3$.  Popi�te
pomoc� afinn�ch kombinac� v�echny body p��mky ur�en� body $a$ a $b$, potom
v�echny body roviny ur�en� $a$, $b$ a $c$.  Specieln� si uv�domte, jak� v
t�chto bodov�ch baz�ch maj� sou�adnice jednotliv� body $a$, $b$ a $c$, d�le
st�edy �se�ek mezi nimi a t�i�t� troj�heln�ku, kter� tvo��.\label{tri
body}
\end{examplen}

\begin{exerc}
Nech� $(a_0, a_1,\dots, a_n)$ je bodov� b�ze afinn�ho prostoru 
$(A,V,\star)$.  Uk�zali
jsme, �e $(a_0,\vct{a_0a_1},\dots,\vct{a_0a_n})$ je afinn� b�ze.
Doka�te, �e t� $$(a_i,\vct{a_ia_0},\dots,
\vct{a_ia_{i-1}},\vct{a_ia_{i+1}},\dots,\vct{a_ia_n})$$ je afinn� b�ze
pro $i=1,\dots, n$.  Jinak �e�eno, nez�le�� na tom, kter� bod a kter�
vektory do afinn� b�ze vybereme.
\end{exerc}
\begin{examplen}\label{afinni obal}
Dosud jsme konstruovali pouze afinn� kombinace bod� v obecn� poloze.
Zkusme nyn� uva�ovat mno�inu libovoln�ch bod� $S=\{a_1,\dots, a_k\}$ v
$(A,V,\star)$.
Nech� $(c_1,\dots,c_k)^\top$ je $n$-tice skal�r�, p�i�em� $\sum
c_i=1$.  Pak $b=c_1a_1+\dots +c_ka_k$ je bodem $(A,V,\star)$ a jedin�
odli�nost od afinn� kombinace bod� v obecn� poloze je v tom, �e
sou�adnicov� vyj�d�en� bodu $b$ vzhledem k mno�in� $S$ nemus� b�t
jednozna�n�.  Skute�n�, p�idejme k bod�m z p��kladu \ref{tri body}
je�t� $d=(1,1,-1)$, kter� le�� v rovin� ur�en� $a$, $b$ a $c$.
Uv�domte si, jak� sou�adnice m� bod $d$ vzhledem k bodov� b�zi t�to 
roviny tvo�en� $(a,b,c)$ a promyslete si tvar bodov�ch "sou�adnic" 
bod� v rovin� ur�en� mno�inou $S=\{a,b,c,d\}$.  
\end{examplen}

\begin{defin}  Nech� $S\subseteq A$ je libovoln� mno�ina bod� afinn�ho
prostoru $(A,V,\star)$.  Mno�inu 
$$\af(S)=\big\{\textstyle\sum c_ia_i;c_i\in\kk,a_i\in S\big\}$$
v�ech kone�n�ch afinn�ch kombinac� bod� z $S$ nazveme \df{afinn�
obal} mno�iny $S$.
\end{defin}

\begin{exerc} Doka�te, �e $\af(S)$ je nejmen�� afinn� podprostor v
$(A,V,\star)$, kter� obsahuje mno�inu $S$.
Uv�domte si p�edev��m, �e afinn� obal bodu je dan� bod samotn� a �e
afinn� obal $k$ bod� v obecn� poloze m� dimenzi $k-1$, viz t� p��klad
\ref{dimenze dana bodovou bazi}.
\end{exerc}

V ��sti definuj�c� afinn� podprostor jsme uk�zali, �e nepr�zdn� 
pr�nik afinn�ch podprostor� je afinn� podprostor.  Pojem afinn�ho
obalu umo��uje definovat dal�� operaci s podprostory.

\begin{defin} Nech� $(B,W,\star|W)$ ,$(C,U,\star|U)$
jsou afinn� podprostory v $(A,V,\star)$.  Nech�
$\af_\star(S)$ ozna�uje afinn� obal mno�iny $S$ vzhledem k akci
$\star$.  P�ipom��me, �e sou�et $W+U$ je definov�n jako line�rn� obal
$\lin(W\cup U)$.  Pak
$(\af_\star(B\cup C),W+U,\star|W+U)$, nazveme 
\df{sou�et afinn�ch podprostor�} $(B,W,\star|W)$ a $(C,U,\star|U)$.
Stru�n� budeme sou�et zapisovat $(B+C,W+U,\star|W+U)$.
\end{defin}

\begin{exerc} Promyslete si, jak vypad� sou�et afinn�ch podprostor�,
p�edev��m popi�te akci $\star|W+U$.  Doka�te, �e jde o afinn�
podprostor a ur�ete jeho dimenzi (uv�domte si vlastnosti dimenze
sou�t� a pr�nik� vektorov�ch podprostor�).
\end{exerc}

Pod�vejme se nyn� na afinn� obal mno�iny bod� trochu jinak.  Z
definice afinn�ho obalu plyne, �e s ka�dou dvojic� bod� pat�� do
afinn�ho obalu i p��mka, kter� jimi proch�z�.  To p�ipom�n� jinou
d�le�itou geometrickou strukturu.

\begin{defin} Nech� $(A,V,\star)$ je afinn� prostor a
$a_1,\dots,a_k\in A$ jsou libovoln� body.
Afinn� kombinaci $c_1a_1+\dots c_ka_k$ nazveme \df{konvexn�
kombinac�} bod� $a_1,\dots,a_k$, pokud plat� $0\leq c_i\leq 1$ pro
ka�d� $i=1,\dots,k$.
\end{defin}

Poznamenejme, �e konvexn� kombinace je t� afinn� kombinac�, tedy
plat� $\sum c_i=1$.

\begin{defin} \df{Konvexn� podmno�ina} afinn�ho prostoru je takov�
jeho nepr�zdn� 
podmno�ina, do n�� pat�� s ka�d�mi dv�ma body i �se�ka, kter� je
spojuje.
\end{defin}

\begin{exerc} Pokuste se definovat pojem konvexn�ho obalu mno�iny bod�
podobn�, jako je definov�n afinn� obal.  Doka�te, �e konvexn� obal
mno�iny $S\subseteq A$ v $(A,V,\star)$ je nejmen�� konvexn� mno�ina,
kter� obsahuje $S$.
\end{exerc}
\begin{exerc}
Procvi�te pr�v� zaveden� pojmy konvexn� podmno�ina, konvexn� kombinace
a konvexn� obal na obdob� p��klad� \ref{tri body} a \ref{afinni obal}.
\end{exerc}

\begin{examplen}Pomoc� bodov� b�ze a afinn�ch kombinac� lze p�eformulovat tak� definici
afinn�ho zobrazen�.

Nech� $(A,V,\star)$ a $(B,W,\ast)$ jsou
afinn� prostory, $f:A\to B$ afinn� zobrazen�.  Pak plat� podle definice,
�e pro ka�d� $a\in A$ a ka�d� $v\in V$ je
$$f(a\star v)=f(a)\ast\phi(v),$$
kde $\phi:V\to W$ je line�rn� zobrazen�.  

Nech� je afinn� kombinac� bod� $a_0,\dots,a_k$, tedy 
$a=c_0a_0+\dots+c_k a_k$ pro vhodn� $c_0,\dots, c_n$, $\sum c_i=1$.

\smallskip
Pak plat�
\begin{align*}
f(a)&=f\big(a_0\star(c_1\vct{a_0a_1}+\dots +c_k\vct{a_0a_k})\big)\\
&=f(a_0)\ast\phi\big(c_1\vct{a_0a_1}+\dots  +c_k\vct{a_0a_k}\big)\\
&=f(a_0)\ast \big(c_1\phi(\vct{a_0a_1})+\dots+ c_k\phi(\vct{a_0a_k})\big)\\
&=f(a_0)\ast \big(c_1\vct{f(a_0)f(a_1)}+\dots+ c_k \vct{f(a_0)f(a_k)}\big)\\
&=(1-c_1-\dots-c_k)f(a_0)+c_1f(a_1)+\dots +c_k f(a_k),
\end{align*}
kde posledn� v�raz p�edstavuje afinn� kombinaci v $(B,W,\ast)$.

Tedy afinn� zobrazen� zachov�v� afinn� kombinace.
\end{examplen}
\begin{exerc}
Doka�te naopak, �e ka�d� zobrazen�, kter� zachov�v� afinn� kombinace, je
afinn� zobrazen�.
\end{exerc}

\begin{cor} Afinn� zobrazen� je pr�v� takov� zobrazen� mezi afinn�mi prostory,
kter� zachov�v� afinn� kombinace bod�.
\end{cor}

\begin{remark} S vyu�it�m tohoto d�sledku lze definovat afinn�
zobrazen� jako zobrazen� zachov�vaj�c� afinn� kombinace.  Podobn� lze
t� definovat konvexn� zobrazen� jako zobrazen� zachov�vaj�c� konvexn�
kombinace.  Poznamenejme, �e konvexn� podmno�iny a 
konvexn� zobrazen� jsou d�le�it� p�edev��m v teorii
minimalizac� a obecn�ho matematick�ho programov�n�.
\end{remark}

\begin{examplen}
\label{jina afinni grupa}
V p��kladu \ref{afinni grupa} jsme popsali afinn�
grupu jako�to grupu v�ech afinn�ch automorfism� vektorov�ho prostoru 
$(V,V,+)$ se zvolenou afinn� baz�.  Zavedeme nyn� obdobnou grupu v�ech
afinn�ch automorfism� $(V,V,+)$, ale se zvolenou bodovou baz�, a
n�sledn� uk�eme, �e jsou tyto dv� grupy isomorfn�.

Nech� tedy $V$ je vektorov� prostor nad polem $\kk$ dimenze $n$
a nech� je v n�m zvolena libovoln� bodov� b�ze.  Uv�domte si, �e
afinn� automorfismus mus� p�ev�d�t bodov� sou�adnice na bodov�
sou�adnice, tedy v�echny afinn� automorfismy maj� �tvercov� matice
$(n+1)\times(n+1)$ hodnosti $n$ takov�, �e sou�et ��dk� je vektor
$\jj=(1,\dots,1)$.  Form�ln� lze tedy tuto grupu popsat nap�. 
n�sledovn�:
$$G=\left\{
\left(
\begin{array}{c|c}
c_0&A_0\\\hline c&A
\end{array}\right); c\in\kk^n, c_0=1-\jj c, A\in GL(n,\kk), A_0=\jj-\jj A
\right\}$$

Nyn� dok�eme, �e jde o grupu vzhledem k n�soben� matic 
a �e je tato grupa isomorfn� $A(n,\kk)$, a to tak, �e vyu�ijeme 
bijekce mezi afinn�mi a bodov�mi sou�adnicemi a uk�eme, �e $G$ operuje na
bodov�ch sou�adnic�ch stejn�m zp�sobem jako $A(n,\kk)$ na afinn�ch
sou�adnic�ch. Promyslete si pe�liv�, pro� 
je tato metoda d�kazu korektn�.

M�jme bod $v\in V$ s afinn�mi sou�adnicemi $(1,c_1,\dots,c_n)$ vzhledem k
pevn� zvolen� afinn� b�zi $(a,v_1,\dots,v_n)$ prostoru $(V,V,+)$.  Pak z�ejm�
bod $v$ m� bodov� sou�adnice $(1-c_1-\dots-c_n,c_1,\dots,c_n)^\top$ vzhledem k
bodov� b�zi $(a,a+v_1,\dots,a+v_n)$.  Ozna�me $c=(c_1,\dots,c_n)^\top$
a pi�me bodov� sou�adnice symbolicky $(1-\jj\cdot c,c)^\top$.

M�jme nyn� libovoln� prvek
$$\left(\begin{array}{c|c}1&0\\\hline r&A\end{array}\right)
\in A(n,\kk).$$ Pak z�ejm� 
$$\left(\begin{array}{c|c}1&0\\\hline r&A\end{array}\right)\cdot
\begin{pmatrix}1\\c
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
1\\Ac+r  
\end{pmatrix}$$
Nyn� najdeme matici, jej�m� n�soben�m se z vektoru bodov�ch sou�adnic 
$(1-\jj\cdot c,c)^\top$ stane vektor $\big(1-\jj\cdot(Ac+r),Ac+r\big)^\top$.

Proto�e prvn� ��dek takov� matice lze z�skat ode�ten�m sumy ostatn�ch ��dk� od
vektoru $\jj$, sta�� se zam��it na to, jak vypad� zbyl�ch $n$ ��dk�.  Snadno
nahl�dneme, �e 
$$\left(\begin{array}{c|c}*&*\\\hline r&A\end{array}\right)
\cdot 
\begin{pmatrix}
1-c_1-\dots -c_n\\
c
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
*\\A+(1-c_1\cdot -\dots-c_n)\cdot r
\end{pmatrix},$$
kde hv�zdi�ky ozna�uj� p��slu�n� dopo��tan� prvky.  Je z�ejm�, �e 
matici mus�me m�rn� upravit na tvar
$$\left(\begin{array}{c|c}1-\jj\cdot r&\jj-\jj\cdot (A+r\cdot\jj)
\\\hline r&A+r\cdot\jj\end{array}\right).$$
Uv�domte si p�edev��m, co se d�je se sloupcov�mi vektory p�i n�soben� vektorem
$\jj$ zleva a zprava a co se stane se �tvercovou matic� p�i n�soben� $\jj$ zleva.

Nyn� si uv�domte, co jsme zat�m uk�zali.  Ke ka�d�m afinn�mi sou�adnic�m v 
afinn� b�zi $(a,v_1,\dots,v_n)$ m�me bodov� sou�adnice v bodov� b�zi
$(a,a+v_1,\dots,a+v_n)$, p�i�em� naopak k bodov�m sou�adnic�m v t�to b�zi
snadno najdeme zp�tn� afinn� sou�adnice.  Tedy m�me jednozna�nou korespondenci
afinn�ch a bodov�ch sou�adnic
$$\begin{pmatrix}
1\\c
\end{pmatrix}\longleftrightarrow
\begin{pmatrix}
1-c_1-\dots-c_n\\c
\end{pmatrix}.$$
D�le, ke ka�d�mu prvku $B\in A(n,\kk)$ jsme na�li odpov�daj�c� prvek grupy $G$, kter�
p�sob� na bodov�ch sou�adnic�ch $(1-\jj c, c)^\top$ tak, 
�e v�sledn� sou�adnice odpov�daj�
ve v��e uveden� jednozna�n� korespondenci sou�adnic�m $B\cdot (1,c)^\top$.
Tedy jsme z�skali jednozna�nou korespondenci mezi $A(n,\kk)$ a $G$
prost�ednictv�m
$$\left(\begin{array}{c|c}1&0\\\hline r&A\end{array}\right)
\longleftrightarrow
\left(\begin{array}{c|c}1-\jj\cdot r&\jj-\jj\cdot (A+r\cdot\jj)
\\\hline r&A+r\cdot\jj\end{array}\right).$$

T�m jsme v�ak uk�zali, �e $G$ operuje na bodov�ch sou�adnic�ch stejn�, jako
$A(n,\kk)$ na afinn�ch sou�adnic�ch, tud�� v��e uveden� jednozna�n�
korespondence prvk� grup $A(n,\kk)$ a $G$ ur�uje grupov� isomorfismus.

Dodejme je�t�, �e $G$ tak� operuje na bodov�ch baz�ch, op�t 
analogicky jako $A(n,\kk)$ na afinn�ch baz�ch.
\end{examplen}

\begin{exerc}
Nech� $$B=
\left(\begin{array}{c|cc}1&0&0\\\hline 1&1&2\\1&3&4\end{array}\right)\in
A(2,\rr).$$
Ur�ete odpov�daj�c� matici v $G$ a ov��te si v�po�tem na p��kladech
afinn�ch a bodov�ch sou�adnic n�kolika bod� $(\rr^2,\rr^2,+)$, �e rozum�te
p�i�azen�m konstruovan�m v minul�m p��kladu.
\end{exerc}
\begin{exerc}
Nech� ve $(V,V,+)$ je zvolena afinn� b�ze
$(a,v_1,\dots,v_n)$.  
Uv�domte si, jak se zm�n� d�kaz v p��kladu \ref{jina afinni grupa}, pokud
budeme uva�ovat sou�adnice vzhledem k jin� bodov� b�zi, nap�.
$(a+v_1,\dots,a+v_n,a)$.  Vy�e�te p�edchoz� cvi�en� vzhledem k t�to bodov�
b�zi.
\end{exerc}
\begin{exerc}
Popi�te, jak vypad� akce $G$ na mno�in� bodov�ch baz�.  Vyu�ijte p��klad
\ref{afinni grupa na bazich}.
\end{exerc}

\bigskip
\begin{remark} 
Pokud jste do�etli a� na toto m�sto, doporu�ujeme v�m za��t znovu.  S~velkou
pravd�podobnost� jste n�co p�ehl�dli nebo nepochopili.
\end{remark}

\begin{center}KONEC
\end{center}
\vfill
\hrule\medskip
\noindent{\footnotesize
Tento text podl�h� licenci {\em Letm�ho �vodu\/}: jeho kop�rov�n�, zm�ny a �pravy
�i
publikov�n� pod vlastn�m jm�nem jsou dovoleny.  Nen� dovoleno do vyti�t�n�ho
textu balit masn� v�robky.  O chyb�ch �i nedostatc�ch 
ve verzi textu na na�ich  str�nk�ch pros�m informujte na adresu {\tt
elvis@spiknuti.org}.}
\end{document}
